알고리듬

2025 국방 AI경진대회(MAICON) 후기

Gliver — Tue, 25 Nov 2025 19:32:04 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글은 2025 MAICON(국방 AI 경진대회) 본선 후기입니다.

결과는 아쉽지만, 대회 준비는 꽤 열심히 했기 때문에 자세하게 작성해 보겠습니다.

대회 소개

대회 일정

예선은 온라인으로 진행되는 개인전이며, 예선을 통과한 참가자들끼리 5인 1팀으로 총 10팀으로 본선에 진출하게 된다.

참고로, 예선을 통과하게 되면 팀빌딩 페이지가 제공되어 여기서 게시글을 올려 팀원을 구하거나 팀원으로 들어갈 수 있는 구조이다.

이후에 약 3주간의 멘토링 과정이 진행되며 이후에 2박 3일 동안의 오프라인 본선이 진행된다.

멘토링은 일주일에 1회, 3주 동안 총 3회 진행되었다.

예선 소개

예선은 온라인으로 진행되며 군장병 30명, 사관생도 10명, 일반인 10명을 뽑는다.

따라서, 예선 커트라인은 군장병, 사관생도, 일반인 별로 다르다.

예선은 온라인으로 진행되며 총 3문제가 출제되었다.

문제의 유형은 적절한 모델을 만들어 테스트 데이터에 대해 높은 점수를 받으면 되는 문제이다.

즉, 알고리즘 코딩테스트가 아닌 Data Science 코딩테스트라고 생각하면 된다.

참고로, 나는 예선에서 81.9점을 받았다.

얘기를 들어본 결과, 군장병 커트라인은 72~73점 정도, 일반인은 82점 정도인 것 같다. (사관생도는 모르겠다..)

저작권 이슈로 문제명은 블러 처리하였습니다.

어떤 문제가 나오는지는 예선 전에 대략적으로 알려줬으며, ChatGPT와 같은 AI 툴을 사용할 수 있었다.

따라서, 예선을 통과하려면 예선 정보가 나온 이후에 짧은 시간에 어떻게 문제를 풀지 전략을 잘 짜는 게 중요하다고 생각한다.

시상내역

예선을 통과하여 본선에 총 5팀이 나오는데, (우수부대상을 제외하고) 상이 총 10 정이다.

예선을 타이트하게 뽑고 본선에서 모두에게 상을 주는 구조인 것이다.

즉, 예선만 통과하면 상은 확정이며 그중에서 6등 안에만 들면 최소 500만 원이라는 것이다.

이때는 몰랐다. 내가 10등을 하게 될 줄은..

본선 과제 소개

본선 과제는 'MUM-T(유무인복합체계) 기반의 전장 환경 위험 탐지 및 통합 관제 체계 실시'이다.

이걸 말로만 들어서는 뭔지 모르는 게 당연하다.. 아래에 자세히 설명하겠다.

쉽게 말해, 유인(사람이 직접 조종)과 무인(자율 주행)시스템이 함께 협력하여 작전·임무를 수행하는 체계이다.

이 대회에서 유인은 드론을 조종하는 것을, 무인은 자율 주행 로봇을 의미한다.

그러니까, 드론과 로봇을 이용하여 여러 과제를 적절히 수행하면 되는 과제인 것이다.

본선 경기장 레이아웃

본선 임무평가 심사기준

본선 과제 1. 자율주행 - 구간주행 (15점)

빨간색: Alpha 구간, 초록색: Bravo 구간, 파란색: Charlie 구간

START 지점부터 FINISH 지점까지 주행을 잘하는지를 평가하는 과제이다.

각 구간(Alpha, Bravo, Charlie)을 잘 통과할 때마다 5점씩 획득할 수 있으며, 3구간 모두 통과 시 총 15점을 획득할 수 있다.

즉, START 지점부터 FINISH 지점까지 주행만 잘해도 15점을 획득할 수 있다.

본선 과제 1. 자율주행 - 주행시간 (10점)

단순히, START 지점부터 END 지점까지 가는 데 걸린 시간이 짧은 순으로 점수를 획득하는 방식이다.

아래에 나오는 여러 과제를 하다 보면 주행 시간이 더 걸리는 구조이기 때문에 선택과 집중을 잘해야 하는 부분이다.

본선 과제 2. 객체인식 - 아군표식 (5점)

본선 대회장 QR 코드 모습

그림과 같이 QR 코드가 1개 존재하며, 이를 인식하여 해당 코드의 패턴에 따라 9가지 중 1가지로 분류하면 된다.

단순히 QR 코드 패턴에 따라 9가지로 분류하면 되는 과제이다. 왜 과제 이름이 '아군표식'인지는 잘 모르겠다..

본선 과제2. 객체인식 - 장애물회피 (10점)

본선 대회장 포트홀 모습

대회장에는 그림과 같은 포트홀이 총 2개 존재하며, 이를 회피하여 주행할 경우 각 5점씩, 총 10점 획득할 수 있다.

본선 과제2. 객체인식 - 정찰탐지 (25점)

본선 대회장 객체 예시

대회장에는 총 24개의 위치에 객체가 놓일 수 있으며, 객체 1개당 약 2점의 점수를 얻을 수 있다.

객체의 종류는 총 7가지이며, 객체가 놓일 위치, 어떤 객체가 놓일지, 몇 개 놓일지 등은 평가 전까지는 공개하지 않는다.

단순히, 출발하고 도착할 때까지의 객체를 탐지하는 것이 아닌, 구간 별로 탐지해야 하기 때문에 꽤 까다로운 테스크이다.

즉, Alpha, Bravo, Charlie 구간에 대해 각 구간이 끝나기 전까지 해당 구간에서 나온 객체의 종류와 개수를 통신보고해야 한다.

본선 과제 3. 통신보고 - 목표추적 (10점)

9개의 건물 중에서 2번과 3번에 불이난 사진

그림과 같이 9개의 건물 중에서 임의의 2개의 건물이 불이 난 상태이며, 이를 드론으로 촬영해 어느 건물에서 불이 났는지 추론해야 한다.

추론한 이후에는 로봇이 그 정보를 받고 불이난 건물 사진을 찍어서 통신보고해야 한다.

드론으로 촬영한 사진에서 불이난 곳을 정확히 추론하여 통신보고하면 5점을 획득한다.

또한 불이난 건물의 사진을 로봇으로 찍어 통신보고하면 5점을 획득한다.

본선 과제 3. 통신보고 - 위치보고 (5점)

Alpha, Bravo, Charlie 포인트에 강조한 사진

그림과 같이 Alpha Point, Bravo Point, Charlie Point를 통과할 때 통신보고를 해야 하는 테스크이다.

각 지점을 통과할 때 통신보고를 잘하면 1개당 1.5점 획득할 수 있으며, 3개 모두 성공하면 5점을 획득할 수 있다.

본선 과제 수행을 위한 역할 정리

본선 과제 수행을 위한 역할은 크게 4가지 정도로 분류할 수 있다.

1. 이미지 분석 & 처리

과제 수행에 있어 기초가 되는 부분이다.

로봇이 차선을 따라 정확히 주행하려면 차선을 정확히 인식할 수 있도록 이미지 처리해 주는 것이 중요하다.

포트홀을 발견했을 때를 보다 정확히 인식해야 할 때도 이미지 처리가 중요하다.

왼쪽: 원본 이미지 / 가운데: 차선 인식을 위해 아래 부분만 사용 / 오른쪽: 차선인 흰색 부분만 인식하도록 처리

또한, Aruco 마커 처리나 QR 코드를 처리할 때도 이미지를 기반으로 처리한다.

Aruco 마커란 카메라가 쉽게 인식하고 위치/자세를 계산할 수 있는 ID 기반 사각 패턴으로, 로봇 자율주행과 AR 시스템에서 많이 사용된다.

2. 로봇 컨트롤러 제어 & 주행

차선 인식 단계에서 차선의 위치 및 기울기를 안정적으로 추출했다면,

이를 기반으로 좌우 바퀴(또는 속도/조향각)를 제어하여 로봇을 주행시키는 과정을 수행한다.

일반적으로는 인식된 차선을 1차식 또는 2차식 형태로 모델링하여 기울기(각도) 또는 중심점 오차(heading error)를 계산하고,
이 값을 이용해 로봇의 좌우 바퀴 속도 또는 조향 값을 결정한다.

이 단계에서는 수학 및 제어 이론(PWM, PID, RPM 등)에 대한 이해가 중요하며,

차선 이미지로부터 얻은 오차 값(error)을 적절한 제어 입력으로 변환하여 안정적으로 주행시키는 것이 핵심이다.

3. 데이터 수집 & 라벨링 & 모델 학습

총 7가지 객체를 분류할 모델을 만드는 작업이다.

객체에 대한 데이터는 대회 시작 전에 미리 제공하지 않으므로, 대회가 오프라인으로 시작하면 그때 직접 수집해야 한다.

즉, 대회가 시작하면 데이터 수집, 데이터 라벨링, 모델 학습까지 전부 해야 한다.

보통 모델이 성능이 어느 정도 나오려면 1000장 정도는 라벨링해야 하니 꽤 시간이 걸리는 작업이다.

추가로, 드론이 촬영한 사진에서 불이 난 건물을 탐지하는 모델 또한 만들어야 한다.

4. 드론 원격 제어 & 화재 건물 탐지 & 통신보고

드론을 원격으로 제어하는 팀원이 1명 필요하므로, 드론 제어와 사진 찍는 연습을 해야 한다.

그리고, 화재 건물을 추론해야 하므로 해당 데이터 셋도 드론을 이용하여 구해야 한다.

드론이 화재 건물을 판단한 이후에, 해당 건물이 몇 번인지 판별하는 건 또 다른 문제이다.

9개의 건물 중에서 2번과 3번에 불이난 사진

즉, 위와 같이 불이난 건물을 잘 판단한 이후에 해당 건물이 몇 번인지 자동으로 구해주는 알고리즘을 작성해야 한다.
이는, 드론 사진을 잘 찍는다는 가정 하에 간단하게 x, y 좌표 비교하여 처리할 수 있다.

통신보고는 대회 측에서 제시한 방법과 양식에 따라 정보를 전송하면 된다.

통신보고 또한 이슈가 발생할 수 있으니, 미리 충분히 테스트해 보는 것이 중요하다.

추가로..

한정된 자원 안에서 여러 작업을 수행해야 하므로 최적화 작업 또한 중요하다.

AI 모델을 GPU를 활용할 수 있도록 환경을 구축하고 최적화하는 작업이 중요하다.

또한, CPU 기반 처리라 하더라도 불필요한 연산을 줄이고 효율적으로 코드를 작성하는 것이 중요하다.

대회를 준비하며 내가 한 것들

이제, 내가 대회를 준비하며 한 것들에 대해 자세하게 이야기해 보겠다.

나는 위의 4가지 역할 중에서 1번과 2번 역할을 맡았다.

이번 대회의 까다로운 점은 여러 태스크를 독립적으로 구현하는 것이 아닌 로봇과 드론, 통신보고까지 생각하며 구현해야 한다는 것이라 생각했다.

따라서, 로봇에서 이미지 처리와 주행을 고려하면서 AI 모델 추론이나 통신 보고 등 여러 기능을 쉽게 넣을 수 있게 구조를 잡아야 한다고 생각했다.

그래서, 실시간 자율주행 로봇 소프트웨어 아키텍처를 설계하였다.

내가 만든 소프트웨어 아키텍처는 아래와 같은 파이프라인으로 설계했다.

# 1. 프레임 캡처
self.frame = self.camera.get_frame()

# 2. 이미지 처리
self.images = self.image_processor.get_images(self.frame)

# images가 None이면 빈 딕셔너리로 처리
if self.images is None:
    self.images = {}

# 3. 감지 수행
observations = {
    "lane": self.observer.observe_lines(self.images.get("hough")),
    "aruco": self.observer.observe_aruco(self.images.get("original")),
    "pothole": self.observer.observe_pothole(self.images.get("binary")),
    "qr_codes": self.observer.observe_qr_codes(self.images.get("original")),
    # 필요한 경우 다른 감지 추가
}

# 4. 트리거 매니저가 적절한 액션을 반환
action = self.trigger_manager.step(observations)

# 5. 액션 실행
if action:
    self.action_executor.execute(action)

프레임을 받아오는 동작을 진행한다.
받아온 프레임을 차선 인식을 할 수 있도록 이미지 처리를 하고, 여러 이미지들을 받아온다. (BEV, binary, hough, ...)
처리한 이미지들을 통해 여러 정보를 얻어낸다.
ex) lane에서는 차선이 발견됐다면, 차선의 각도와 중심점과의 거리 정보를 받아온다,
ex) aruco에서는 aruco가 발견됐다면, aruco의 id를 받아온다.
받아온 모든 정보들(observations)을 총합하여 가장 적절한 행동을 받아온다.
행동을 컨트롤러가 실행한다.

더 자세한 구조가 궁금하다면, 깃허브 레포지토리를 참고하시기 바랍니다.

본선 대회에서 생긴 이슈..

ROS 환경에서 모두 잘 동작하는 걸 확인해서, 아키텍처에서 컨트롤러 부분만 대회에서 제공한 라이브러리를 이용해서 바꾸면 될 줄 알았다.

하지만, 여러 이슈 때문에 로봇을 기본 주행이 되도록 만드는 게 쉽지 않았다.

컨트롤러 함수의 차이

ROS에서 모터를 제어할 때는 선속도(linear velocity)와 각속도(angular velocity) 값을 계속 보내주는 방식으로 움직인다.
반면, 대회에서 제공된 Tiki 라이브러리는 RPM 기반으로 모터를 조절하는 방식이다.

그래서 ROS 방식에서 사용하던 v, w 값을 Tiki의 RPM으로 변환하는 함수를 만들어 적용해 봤지만,
실제 주행 과정에서 정확하게 동작하지 않았다.

결국, 단순 변환으로 해결될 문제가 아니었고, Tiki의 제어 방식에 맞춰 동작 로직을 따로 다시 설계했어야 했다.

ROS와 Tiki 라이브러리의 차이

ROS에서는 모터 제어 명령을 한 번 보내면 그 순간만 반영되고 바로 끝난다.
계속 움직이게 하려면 일정 주기(예: 10Hz, 20Hz)로 속도 명령을 반복해서 보내줘야 하고,

인식 결과나 상황 변화가 생기면 즉각적으로 다음 명령에 반영되는 구조다.

반대로 Tiki는 명령을 한 번 보내면 해당 동작을 계속 유지한다.
예를 들어 forward() 명령을 한 번 실행하면, 멈추라는 명령을 따로 주기 전까지 계속 전진하게 된다.
즉, 내부적으로 독립적으로 동작을 지속하는 방식이다.

그래서 ROS는 실시간 제어 중심 구조라 반응이 빠르고 세밀한 조정이 가능한 반면,
Tiki는 동작 기반의 구조라 한 번 시작된 행동을 중간에 개입하거나 조정하기가 상대적으로 어렵다.
이 차이 때문에 동일한 제어 코드를 그대로 가져가기 어렵고, Tiki 방식에 맞게 별도의 제어 로직을 다시 설계해야 했다.

위의 문제들을 어찌어찌 해결했으나(10시간 정도 걸림), 결국 포기하게 된 사건이 있었다..

로그를 찍으며 주행 테스트를 하는데, right rpm이 left rpm보다 큰 상태인데 오른쪽으로 돌아가는 것이다..!

이 현상을 보고, 이건 어디선가 문제가 있는데 더 이상 여기에 시간을 낭비하면 안 될 것 같아 결국 내가 가져온 아키텍처를 버리게 되었다.

대회장을 가면 아래와 같은 상황 때문에 하나를 테스트하는 데 생각보다 시간이 오래 걸린다.

경기장을 팀별로 번갈아 가면서 사용
로봇을 충전하는 동안에는 사용이 불가함.
로봇으로 주행 테스트뿐만 아니라 데이터 수집도 해야 함.
로봇 환경 세팅하는 데도 시간이 꽤 걸림

따라서, 더 이상 아키텍처를 끌고 가기보단 아예 처음부터 Tiki에 맞춘 코드를 짜기로 결정했다.

아키텍처를 계속 끌고 가며 테스트하다 보니 거의 12시간이 지나버렸다.
결국 원하는 결과를 못 내고 시간만 많이 써버려서, 그 부분은 팀원에게 참 미안했다..

내가 가져온 아키텍처를 여러 번 테스트하는 동안, 다른 팀원이 처음부터 Tiki 구조에 맞춰서 주행 코드를 작성하고 있었다.

다행히, 팀원이 짠 주행 코드가 기본 주행을 할 수 있게 되어 그 코드를 메인으로 하여 대회를 진행했다.

이후에는 꽤 순조롭게 진행되었다.

객체 인식 모델을 프로젝트에 옮겨 잘 동작했고, aruco 마커나 qr코드도 잘 인식하였다.

그리고, 임무 수행을 위한 파이프라인 코드도 다 완성했다.

이제 주행을 하며 잘 동작하는지 보고 디테일만 수정하면 되는 단계가 되었다.

그런데,, 몇 가지 이슈가 더 발생했다.

프레임 이슈

팀원이 작성한 주행 코드에 YOLO 모델을 임포트해 실행했는데, 이 과정에서 프레임이 급격히 떨어지는 문제가 발생했다.

원래 주행 코드는 while 루프를 빠르게 반복하며 처리하는 방식이어서 초당 약 100 프레임 정도가 나왔고, 이 상태에서는 주행이 안정적이었다.

하지만 YOLO 모델을 불러오면서 연산량이 크게 늘었고, 프레임 속도가 초당 약 20 프레임 수준으로 떨어졌다.

프레임이 낮아지면서 주행 반응이 둔해지고, 장애물이나 차선을 처리하는 타이밍이 밀려 정상적으로 주행을 하지 못하였다.

20프레임 환경에서도 잘 돌아가도록 코드를 최적화하려 했지만,

이미 대회 제출 1시간 전이라 현실적으로 수정하기 어려운 상황이었고,

결국 YOLO 통합 버전은 포기하고 안정적으로 주행만 가능한 이전 버전 코드로 롤백하는 전략을 선택했다.

버전 관리 이슈

주행만 안정적으로 잘 되었던 버전으로 되돌리려고 했는데, 그때의 코드가 따로 남아 있지 않았다..

그 버전을 커밋만 해두었어도 최소한 기본 주행은 문제없이 제출할 수 있었을 텐데, 아쉬웠다

초기 아키텍처가 잘 맞지 않아 급하게 방향을 바꾸는 과정에서 버전 관리를 제대로 하지 못했고, 결국 안정적인 버전으로 돌아갈 방법이 없어졌다.

돌이켜보면, 시간이 부족했더라도 조금 더 침착하게 버전 관리를 하고, 작은 단위라도 꾸준히 커밋하면서 진행했어야 했다.

대회를 마치며

이번 대회는 짧은 시간 안에 다양한 태스크를 구현해야 해서 꽤 난이도가 높다고 생각한다.

사실, 난이도는 괜찮은데 주어진 시간이 너무 짧은 것 같아 아쉽다.

개인적으로, 본선 기간이 조금만 더 길었으면 모든 팀이 훨씬 더 완성도 높은 결과물을 보여줄 수 있었을 텐데… 아쉽다.

그래도, 이렇게 다양한 기술들을 융합하여 하나의 프로젝트를 만드는 경험을 쉽게 할 수 없는데 그런 경험을 할 수 있다는 게 장점인 것 같다.

AI나 로봇, 자율주행, 혹은 요즘 말하는 피지컬 AI에 관심이 있다면 이 대회는 좋은 기회라고 생각한다.

(뇌피셜) 매년 세부 주제가 바뀌긴 하지만, 큰 틀은 이번과 비슷한 방향으로 유지되지 않을까 싶다.

마지막으로, 본선에서 잘한 팀의 시연 영상을 첨부하며 글을 마친다. (링크)

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

Gliver — Sat, 19 Oct 2024 13:27:03 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)를 증명해 보겠습니다.

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)란?

계수-퇴화차수 정리는 아래와 같다.

행렬 $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$

$m$은 행렬의 행의 개수, $n$은 행렬의 열의 개수를 의미
$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 계수를 의미
$\mathrm{nullity} M$: 행렬 $M$의 영공간의 차원을 의미

행렬에 대해 정의되는 계수-퇴화차수 정리는 선형사상에 대해 정의되는 차원 정리와 대응된다. (차원 정리 글 링크)

왜냐하면, 행렬과 선형사상은 동일한 대수 구조이기 때문이라고 생각하면 된다.

행렬의 $n$ $\Leftrightarrow$ 선형사상의 $\dim(V)$

행렬의 $\mathrm{rank}M$ $\Leftrightarrow$ 선형사상의 $\dim(\mathrm{im} L)$

행렬의 $\mathrm{nullity}M$ $\Leftrightarrow$ 선형사상의 $\dim(\mathrm{ker} L)$

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

계수-퇴화차수 정리를 증명하기 전에, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ 을 증명하겠다.

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 열공간 차원, 열벡터들이 생성하는 공간의 차원을 의미
$\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 행공간 차원, 행벡터들이 생성하는 공간의 차원을 의미

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$인 이유는 간단하다.

행렬 $M$의 기약행 사다리꼴 형태의 행렬을 $A$라고 해보자.

행렬 $A$는 행렬 $M$에서 기본행 연산을 통해 만들어졌기 때문에 행렬 $M$의 성질을 그대로 유지하고 있다.

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{col}$-$\mathrm{rank} A$ 이 성립
$\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank} A$ 이 성립

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$와 $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$의 정의를 생각해 보자.

어떤 벡터들이 생성해 내는 공간의 차원이다.

따라서, 기약행 사다리꼴 형태의 행렬에서 벡터들이 생성해내는 공간의 차원은 선도 1의 개수와 관련이 있다.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

예를 들어, 위와 같이 $M_{3 \times 4}$ 행렬의 $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$와 $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ 를 구해보자.

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M$은 열벡터들이 생성해 내는 공간의 차원이므로 3이다.

$\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M$은 행벡터들이 생성해 내는 공간의 차원이므로 3이다.

따라서, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$와 $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ 모두 선도 1의 개수인 것이다.

기약행 사다리꼴 형태는 대각 성분이 모두 1인 행렬이다.

따라서, 그러한 상태에서는 $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ 임을 직관적으로 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

그리고, 어떤 행렬이든지 기약행 사다리꼴 형태로 만들 수 있으므로, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ 인 것이다.

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ 를 $\mathrm{rank} M$ 이라고 부르며, 이를 $M$의 계수라고 읽는다.

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

계수-퇴화차수 정리는 행렬 $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ 에 대해서 $n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$ 이 성립함을 보이면 된다.

기약행 사다리꼴 행렬로 바꾼다고 해도 기존 행렬의 성질은 그대로 보존되고,

기약행 사다리꼴 행렬에 대해서는 선도 1의 개수를 직관적으로 파악할 수 있어, 계수 $\mathrm{rank}$와 $\mathrm{nullity}$를 파악하기 쉽다.

따라서, 계수-퇴화차수 정리 증명을 기약행 사다리꼴 형태로 증명하면 쉽게 증명할 수 있다.

행렬 $M$의 기약행 사다리꼴 행렬을 $A$라고 하자.

$\mathrm{rank}M = k$ 라고 하면, $\mathrm{rank} A = k$ 이며, $A$의 선도 1의 개수 또한 $k$라고 할 수 있다.

따라서, $A \mathbf{x} = \mathrm{0}$ 에서 자유 변수의 개수는 $n - k$ 이다.

$\mathrm{nullity}$ 는 영공간의 차원, 즉 $A \mathbf{x} = \mathrm{0}$ 을 만족시키는 $\mathrm{x}$가 만드는 공간의 차원을 의미한다.

그리고 $\mathrm{x}$가 만드는 공간의 차원은 행렬 $A$의 자유 변수의 개수이다.

따라서, $\mathrm{nullity} A = n - k$ 라고 할 수 있는 것이다.

$\mathrm{rank}M = \mathrm{rank}A, \mathrm{nullity}M = \mathrm{nullity}A$ 이므로, $n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$ 이 성립한다. 증명 끝.

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

Gliver — Mon, 14 Oct 2024 19:06:41 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 차원 정리(dimension theorem)를 증명해 보겠습니다.

차원 정리(Dimension Theorem)란?

차원 정리의 정의는 아래와 같다.

유한차원 벡터공간 $V$와 선형사상 $L: V \rightarrow W$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$\dim(V) = \dim(\mathrm{ker} L) + \dim( \mathrm{im}L)$

$\dim(V)$: 정의역 $V$의 차원을 의미
$\dim(\mathrm{ker} L)$: 핵 $\mathrm{ker} L$의 차원을 의미
$\dim(\mathrm{im} L)$: 상 $\mathrm{im} L$의 차원을 의미

간단하게, $\mathrm{ker} L$은 0벡터가 나오게 하는 정의역 공간, $\mathrm{im} L$은 치역 공간이라고 생각하면 된다.

즉, 차원 정리가 의미하는 것은 정의역의 차원은 치역의 차원과 핵의 차원의 합과 같다는 것이다.

출처: 위키백과

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

차원 정리의 식을 바꿔보면, $\dim(V) - \dim(\mathrm{ker} L) = \dim(\mathrm{im} L)$ 로 표현할 수 있다.

이게 의미하는 것은 정의역 차원 $\dim(V)$에서 0벡터로 사상되는 차원 $\dim(\mathrm{ker} L)$을 빼면 치역의 차원 $\dim(\mathrm{ker} L)$이 된다는 것이다.

따라서, $V \setminus (\mathrm{ker} L)$의 차원과 치역 공간의 차원이 같다는 것을 증명하면 된다. (아래의 prop2에 해당하는 내용)

($V \setminus (\mathrm{ker} L)$은 정의역 공간 중 핵 $\mathrm{ker} L$을 제외한 공간을 의미)

정확하게는, $V \setminus (\mathrm{ker} L)$ 이 사상하는 공역 공간이 치역 공간 $\mathrm{im} L$이라는 것도 증명해야 한다. (아래의 prop1에 해당하는 내용)

$B_{V} = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k, v_{k+1} \cdots, v_n \}$ 이라고 하면, $\mathrm{ker}L \subset V$ 이므로 $B_{\mathrm{ker} L} = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k \}$ 라고 할 수 있다.

이제, 우리는 $B_{\mathrm{im}L} = \{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$ 임을 증명하면 된다.

$B_{\mathrm{im}L} = \{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$ 임을 증명하려면 아래와 같은 2가지 명제가 참임을 증명해야 한다.

prop1. $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$을 생성(span)한다.
prop2. $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$이 서로 선형독립이다.

prop1. $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$을 생성(span)한다.

$\forall L(v) \in \mathrm{im}L$ 이며, $v = c_1v_1 + \cdots + c_kv_k + c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n$ 라고 할 수 있다.

따라서, $L(v) = L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k + c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n)$ 이다.

선형사상의 Additivity에 의해, $L(v) = L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k) + L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n)$ 로 나타낼 수 있다.

$L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k) = \vec{0}$ 이므로, $L(v) = L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n)$ 이다.

$L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k) = \vec{0}$ 인 이유는 $B_{\mathrm{ker} L} = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k \}$ 이기 때문

위의 식을 선형사상의 Additivity와 Homogeneity에 의해서 다음과 같이 정리할 수 있다.

$L(v) = c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n)$

이 식이 의미하는 것은 치역 공간에 속하는 임의의 벡터 $L(v)$를 $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$ 의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것이다.

따라서, $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$ 을 생성(span)한다고 할 수 있다.

prop2. $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$이 서로 선형독립이다.

$L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$ 이 서로 선형독립이라는 것을 증명하는 것은

$c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$ 의 유일한 해가 $c_{k+1} = c_{k+2} = \cdots = c_n = 0$ 임을 보이면 된다.

$c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$ 식은 아래와 같은 과정을 거칠 수 있다.

$c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$
$L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n) = \vec{0}$

$L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n) = \vec{0}$ 이므로, $c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n \in \mathrm{ker}L$ 이다.

따라서 커널의 원소인 $c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n$ 은 $B_{\mathrm{ker}L}$ 의 선형결합으로 표현 가능하다.

$c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n = c_1v_1 + \cdots + c_kv_k$
$c_1v_1 + \cdots +c_kv_k - c_{k+1}v_{k+1} - \cdots - c_nv_n = \vec{0}$

$B_V = \{v_1, \cdots, v_n\}$ 이다

따라서, 위 식을 만족하는 $c_1, \cdots, c_k, -c_{k+1}, \cdots, -c_n$ 은 $c_1 = \cdots = c_k = -c_{k+1} = \cdots = -c_n = 0$ 이 유일하다.

즉, $c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$ 이기 위한 유일한 해가 $c_{k+1} = c_{k+2} = \cdots = c_n = 0$ 임이 유일한 것이다.

그러므로, $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$은 서로 선형독립이라고 할 수 있다.

prop1, prop2가 참이므로,,

prop1, prop2 가 참이므로, $B_{\mathrm{im}L} = \{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$ 이 참이다.

따라서, $\dim(V) - \dim(\mathrm{ker} L) = \dim(\mathrm{im} L)$이 참이라고 할 수 있다. 증명 끝.

스칼라 곱(내적) 공식 증명

Gliver — Sun, 13 Oct 2024 14:10:15 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 스칼라 곱(내적) 공식 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 을 증명해 보겠습니다.

스칼라 곱(내적)이란?

스칼라 곱(scalar product)은 내적(inner product) 또는 점곱(dot product)이라고도 부른다.

스칼라 곱(scalar product)은 유클리드 공간의 두 벡터로부터 실수 스칼라를 얻는 연산이다.

간단히 말하면, 두 벡터에 더해 정의되는 연산이며 그 결과로 실수가 나온다는 것이다.

스칼라 곱(scalar product)

스칼라 곱의 기호는 $\cdot$ 이며, 스칼라 곱은 아래와 같은 식으로 정의된다.

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \| \mathbf{v} \| \| \mathbf{w} \| \cos \theta$

(여기서 $\theta$는 두 벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 이루는 각을 의미)

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1$ $ + $ $ v_2w_2 $ $ + $ $ \cdots + v_nw_n$ 증명

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 를 증명하기 위해서는 제2코사인 법칙을 알아야 한다.

제2코사인 법칙을 증명하기 위해선, 제1코사인 법칙을 알아야 한다.

제1코사인 법칙

제1코사인 법칙은 간단하다.

위와 같은 삼각형에 대해 $a = c \cdot \cos B + b \cdot \cos C$ 가 성립한다는 것이다.

제2코사인 법칙

위와 같은 삼각형이 있을 때, 제1코사인 법칙에 근거하여 다음이 성립한다.

$a = b \cdot \cos C + c \cdot \cos B$
$b = a \cdot \cos C + c \cdot \cos A$
$c = a \cdot \cos B + b \cdot \cos A$

1번 식과 2번 식에 대하여, 1번 식에 $a$를 곱하고 2번 식에 $b$를 곱하면 각 식은 아래와 같이 변한다.

$a^2 = ab \cdot \cos C + ac \cdot \cos B$
$b^2 = ab \cdot \cos C + bc \cdot \cos A$

그리고, 이 두 식을 더하면 아래와 같은 식이 된다.

$a^2 + b^2 = 2ab \cdot \cos C + c \cdot (a \cdot \cos B + b \cdot \cos A)$

3번 식에 근거하여, $(a \cdot \cos B + b \cdot \cos A) = c$ 이다.

따라서, $a^2 + b^2 = 2ab \cdot \cos C + c^2$ 이므로 다음이 성립한다. (제2코사인 법칙)

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C$

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 증명

이제, 제2코사인 법칙을 이용해서 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 을 증명해 보자.

제2코사인 법칙에 근거하여, $\|\mathbf{x}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 - 2 \cdot \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cdot \cos \theta$ 이 성립한다.

$\mathbf{x} = \mathbf{v} - \mathbf{w}, \ \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cdot \cos \theta = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$ 이므로 아래와 같이 식을 변환할 수 있다.

$\|\mathbf{v} - \mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 - 2 \cdot \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

위의 식을 정리하면, 아래와 같은 과정을 거치게 된다.

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \frac{1}{2}\{ \| \mathbf{v} \|^2 + \| \mathbf{w} \|^2 - \| \mathbf{v} - \mathbf{w} \|^2 \}$

$= \frac{1}{2} \{ ({v_1}^2 + \cdots + {v_n}^2) + ({w_1}^2 + \cdots + {w_n}^2) \ -(v_1 - w_1)^2 - \cdots -(v_n - w_n)^2 \}$

= $\frac{1}{2} ( 2v_1w_1 + \cdots + 2v_nw_n )$

$= v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$

따라서, $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 이 성립한다. 증명 끝.

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

Gliver — Sun, 13 Oct 2024 12:34:37 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 크래머 공식(Cramer's Rule)을 증명해 보겠습니다.

크래머 공식(Cramer's Rule) 이란?

크래머 공식(Cramer's Rule)을 간단히 말하면, 아래와 같은 선형 방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해 $\mathbf{x}$를 구하는 공식이다.

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\\vdots \\b_n\end{pmatrix}$

정확히 말하면, 미지수의 수와 방정식의 수가 같은 선형 방정식에 한해서만 사용 가능하다.

크래머 공식

크래머 공식은 선형 방정식의 해 $\mathbf{x}$의 $i$번째 원소 $x_i$를 아래와 같이 구할 수 있는 공식이다.

$\large{x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}}$

$A_i$는 계수행렬 $A$의 $i$열 성분을 행렬 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}b1 \\ \vdots \\b_n \end{pmatrix}$ 로 바꾼 행렬을 의미한다.

$A_i = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$

크래머 공식을 사용하는 이유

크래머 공식은 선형 방정식의 해를 구할 수 있는 공식이다.

그런데, 크래머 공식을 쓰지 않고도 가우스 소거법이나 역행렬 등을 이용하면 선형 방정식의 해를 구할 수 있다.

선형 방정식의 해 $\mathbf{x}$의 모든 원소($x_1, x_2, \cdots, x_n$)를 구해야 한다면 크래머 공식은 그다지 좋은 선택지가 아닐 수 있다.

하지만, 선형 방정식의 해 $\mathbf{x}$의 특정한 원소 $x_i$ 하나만을 구하는 상황이라면 크래머 공식은 좋은 선택지가 될 수 있다.

특정한 원소 $x_i$ 하나만을 구하는 상황일 때 크래머 공식을 사용하면 좋은 이유는 식을 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

크래머 공식 자체가 선형 방정식 해 $\mathbf{x}$의 특정한 원소 ($i$번째 원소) $x_i$에 대해 정의되기 때문이다.

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

크래머 공식(Cramer's Rule)은 역행렬을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

크래머 공식의 식을 보면 쉽게 알 수 있는 사실은 $\det(A) \neq 0$ 이라는 점이다. (분모는 0이 될 수 없으므로)

따라서, 크래머 공식을 쓸 수 있는 환경은 $\det(A) \neq 0$ 이므로 $A$의 역행렬 또한 존재하는 상황인 것은 자명하다.

사실, 선형 방정식의 해가 존재하려면 $\det(A) \neq 0$ 을 만족해야 하므로 역행렬이 존재해야 하는 것은 당연하다.

$A$의 역행렬이 존재하므로 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 에서 양변의 앞에 $A^{-1}$를 곱할 수 있다.

$A^{-1} \cdot A \cdot \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$

$\Rightarrow I_n \cdot \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$

$\Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$

$I_n$은 크기가 $n \times n$ 인 단위행렬을 의미한다.

$\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$ 이므로, 이제, 식 $A^{-1} \cdot \mathbf{b}$ 을 행렬 형태로 표현하여 $\mathbf{x}$ 의 각 원소와 어떤 관계를 갖는지 파악해 보자.

역행렬의 정의에 따라서 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$ 로 나타낼 수 있다.

따라서, $\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}$ 을 만족한다.

$\text{adj}(A)$는 여인수 행렬 $C$ 를 전치시킨 행렬이므로 아래와 같은 형태의 행렬이다.

$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}$ 식을 행렬로 표현하면 아래와 같다.

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_i \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \large{ \frac{1}{\det(A)} } \normalsize{ \cdot \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1i} & C_{2i} & \cdots & C_{ni} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} }$

따라서, $x_i = \frac{1}{\det(A)} \cdot (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni} )$ 를 만족한다.

그리고, $\det(A_i) = (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni})$ 이다.

그러므로, $x_i = \large{\frac{\det(A_i)}{\det(A)}}$ 이 성립한다. 증명 끝.

역행렬 곱셈 교환 법칙 증명

Gliver — Sun, 29 Sep 2024 18:22:55 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 역행렬의 성질에서 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$ 임을 (곱셈의 교환 법칙을) 증명해 보겠습니다.

이 증명을 다른 말로 하면, $A$의 역함수가 $B$라면 $B$의 역함수 또한 $A$라는 것을 증명하는 것이다.

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$ 증명

$A \cdot B = I$일 때, $B \cdot A = I$ 임을 증명하면 된다.

$A \cdot A^{-1} = I$이므로 $A \cdot B = I$라면 $B = A^{-1}$라는 의미를 내포하고 있다.

$A \cdot B = I$ $\cdots$ 양변의 앞뒤에 $B$와 $B^{-1}$를 곱한다. $\Rightarrow$ $ B \ $$\cdot \ A \cdot B \ \cdot $$ \ B^{-1}$$ = $$B \ $$ \cdot \ I \ \cdot $$\ B^{-1}$

$B \cdot A \cdot \ $$ B \cdot B^{-1} \ $$ = B \cdot I \cdot B^{-1}$ $\cdots$ $B \cdot B^{-1} = I$ 이다. $\Rightarrow$ $B \cdot A = B \cdot I \cdot B^{-1}$

$B \cdot A = $$ \ B \cdot I \cdot B^{-1}$ $\cdots$ $ B \cdot I \cdot B^{-1} = I$ 이다. $\Rightarrow$ $B \cdot A =$$ I$

따라서, $B \cdot A = I$이므로 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ 임을 만족한다.

물리에서의 벡터 vs 수학에서의 벡터

Gliver — Sun, 29 Sep 2024 12:22:29 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 물리에서의 벡터와 수학에서의 벡터는 무엇인지, 어떤 차이가 있는지 알아보겠습니다.

선형대수학이라는 학문에 대해서 (with AI)

Gliver — Tue, 17 Sep 2024 10:45:23 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 선형대수학이라는 학문을 왜 배워야 하고, 어디에 쓰이는지를 AI를 배우는 컴공을 기준으로 알아보겠습니다.

이해를 돕기 위한 글이므로 엄밀한 정의가 아닌 표현이 쓰인 부분이 있다는 점 참고해 주시면 감사하겠습니다.

[CodeForces] #905 (Div.3) A~F 업솔빙

Gliver — Mon, 23 Oct 2023 16:29:46 +0900

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글은 코드포스 #905 (Div.3) 에 대해 업솔빙하는 글입니다.

A. Morning

단순 구현 문제로, 버튼을 누르는 횟수와 이동하는 횟수를 구해서 출력하면 된다.

B. Chemistry

개인적으로 조금 복잡하게 생각한 문제이다.

팰린드롬을 만들 수 있는 경우는 다음 두 가지 상황으로 제한할 수 있다.

모든 문자의 개수가 짝수개인 경우
하나의 문자의 개수가 홀수개이고, 나머지 모든 문자의 개수가 짝수개인 경우

따라서, 문자열을 적절히 제거하여 홀수개인 문자가 1개 이하가 되도록 만들 수 있으면 된다.

이는, 홀수개인 문자의 개수에서 $k$를 뺀 값이 1 이하 이면 된다는 의미이다.

C. Raspberries

모든 원소의 곱이 $k$로 나누어 떨어지도록 하는 연산의 최소 횟수를 구하는 문제이다.

$k$ 는 2, 3, 4, 5 중에 하나이므로, 문제를 쉽게 해결할 수 있다.

$k$가 소수(prime number)인 경우(2, 3, 5)에는 해당 수의 배수를 무조건 만들어야 한다.

$k$가 4인 경우는 2의 배수 2개를 만들거나 4의 배수를 만들면 된다.

D. In Love

현재 상황에서 겹치지 않는 쌍이 존재하는지를 묻는 문제이다.

시작점의 좌표가 끝점의 좌표보다 큰 경우가 존재한다면, 해당 두 쌍은 겹치지 않는다.

따라서, 시작점의 최대값 > 끝점의 최소값 인 경우에는 적어도 하나의 겹치지 않는 쌍이 존재한다.

E. Look Back

이 문제는 다음과 같은 사실을 만족한다.

arr[i] > arr[i+1] 인 쌍이 존재한다면 arr[i+1]에 연산을 1회 이상 시행해야 한다.
인덱스 i를 기준으로 i 이전의 원소들이 non-decreasing 상태를 만족하면, [1, i] 구간은 연산을 시행할 필요가 없다.

위의 사실을 이용하면, 첫 원소부터 시작하여 arr[i] <= arr[i+1] 이 되게끔 arr[i+1]에 최소 연산을 시행해 주면 문제를 해결할 수 있다.

원소에 2를 곱하는 형식으로 구현하면 매우 큰 수가 나오므로 배열의 원소에 2를 곱하는 방식이 아닌 다른 방식의 처리가 필요하다.

원소에 2를 곱하는 형식이 아닌 원소에 연산을 한 횟수를 저장하는 형식으로 문제를 해결할 수 있다.

어떤 원소 $a$에 연산을 $p$번 하게 되면 $a \cdot 2^{p}$의 형태로 나타낼 수 있다.

따라서, $a, b, p$가 정해진 상태에서 $a \cdot 2^{p} \leq b \cdot 2^{q}$를 만족하는 $q$의 최소값을 구할 수 있다.

F. You Are So Beautiful

이 문제는 이해하는 데 시간이 좀 걸렸다.

다음의 조건을 만족하는 $[l, r]$ 쌍의 개수를 구하면 되는 문제이다.

$b = [a_l, \ a_{l+1} \, \ \cdots \ , \ a_{r-1}, \ a_r]$은 기존의 배열 $a$에서 유일한 subsequence(부분 문자열)이어야 한다.
(여기서 subsequence는 연속일 필요는 없다)

예를 들어, a = [2, 3, 2, 3] 인 경우를 살펴보자.

l=0, r=1 인 경우
b = [2, 3] 이며, [a[0], a[1]]을 제외한 [a[0], a[3]]인 경우도 [2, 3]이 되므로 l=0, r=1인 경우는 조건을 만족하지 않는다.

l=0, r=2인 경우
b = [2, 3, 2] 이며, [a[0], a[1], a[2]]를 제외한 어떠한 subsequence도 [2, 3, 2]가 되지 못하므로 조건을 만족한다.

$b = [a_l, \ a_{l+1} \, \ \cdots \ , \ a_{r-1}, \ a_r]$ 가 조건을 만족하는 경우는 아래의 조건을 만족하는 경우다.

인덱스 $l$ 이전에 $a_l$과 같은 값이 존재하지 않는다.
인덱스 $r$ 이후에 $a_r$과 같은 값이 존재하지 않는다.

따라서, $a_l$은 처음으로 등장한 값이어야 하며, $a_r$은 마지막으로 등장한 값이어야 한다.

등장하는 모든 값에 대해 첫 인덱스와 마지막 인덱스를 매칭시키면 빠르게 모든 쌍을 구할 수 있다.
(누적 합 배열을 만들어 처리하면 $O(n)$에 모든 쌍을 구할 수 있다)

[백준 27986번] 평범한 구성적 문제

Gliver — Tue, 10 Oct 2023 22:03:35 +0900

27986번: 평범한 구성적 문제

정수 $N$과 $M$개의 정수 쌍 $(L_1, R_1), (L_2, R_2), \cdots (L_M, R_M) $이 주어진다. 이제 아래 조건을 만족하면서 값 $K$를 최대화시키는 수열 $X$를 찾아야 한다. $X$는 $K$ 이하의 양의 정수 $N$개로 구성되어

www.acmicpc.net

문제가 수학적인 표현이 많이 쓰여, 다소 이해하기 어렵다고 생각한다.

문제 설명

문제에서 요구하는 것은 배열 $X$를 구하는 것이며, 배열 $X$는 $1$부터 $K$이하의 수로 구성되어 있다.

문제의 입력으로 주어지는 것들은 조건이며, 조건들을 만족하면서 $K$가 최대가 되게 하는 배열 $X$를 구하는 문제이다.

$K$의 최대값은 하나지만, 이때 배열 $X$는 여러 가지 경우가 나올 수 있다.

(편의상 $K'$을 $K$의 최대값이라 정의하겠다)

문제 접근

문제에서 주어지는 입력 중에서 $R_i - L_i + 1$ (구간의 길이)가 $L$이라고 하면,

($L$안에 들어갈 수 있는 원소의 종류의 최대는 $L$이므로) $K'$은 $L$이하여야 한다.

따라서, 모든 $(L_i, R_i)$에 대해서 $R_i - L_i + 1$ 값 중에서 최소값이 $K'$이 된다는 것은 직감적으로 알 수 있을 것이다.

결론적으로, $K'$을 구한 후에 모든 $(L_i, R_i)$에 대해 조건에 맞게끔 적절히 배열 $X$를 구성하면 된다.

더 좋은 방법

$K'$이 정해지면, $(L_i, R_i)$의 값에 상관없이 항상 답을 만족하는 배열 $X$를 만들 수 있다.

즉, $K'$이 정해지면, $(L_i, R_i)$의 최악의 경우에도 답을 만족하는 $X$가 항상 존재한다는 것이다.

예를 들어 $N=7$, $K'=3$이라고 하면, 이때 최악의 $(L_i, R_i)$ 값은 $(1, 3)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(4, 6)$, $(5, 7)$ 이다.

이때, $1231231$ 와 같이 배열 $X$를 구성하면 항상 답이 된다.

(직접 해보면, 조건을 만족한다는 것을 알 수 있을 것이다.)

(항상 조건을 만족하는 배열 $X$가 존재하는 이유는 문제의 조건이 연속된 구간 단위로 주어지기 때문이라고 생각하면 된다.)

똑같이, $K'=5$라면 $N$의 길이에만 맞춰서 $1234512345123451234512345...$ 이런식으로 배열$X$를 구성하면 된다.

최악의 경우($K'$길이의 모든 $(L_i, R_i)$쌍이 있는 경우)에도 위의 방법대로 배열 $X$를 구성하면 조건을 만족했다.

따라서, 입력에 대해 $K'$( = $R_i - L_i + 1$의 최소값)을 구하고 $1234...K'1234...K'....$ 와 같이 배열 $X$를 구성하면 된다.

알고리듬

2025 국방 AI경진대회(MAICON) 후기

대회 소개

대회 일정

예선 소개

시상내역

본선 과제 소개

본선 과제 1. 자율주행 - 구간주행 (15점)

본선 과제 1. 자율주행 - 주행시간 (10점)

본선 과제 2. 객체인식 - 아군표식 (5점)

본선 과제2. 객체인식 - 장애물회피 (10점)

본선 과제2. 객체인식 - 정찰탐지 (25점)

본선 과제 3. 통신보고 - 목표추적 (10점)

본선 과제 3. 통신보고 - 위치보고 (5점)

본선 과제 수행을 위한 역할 정리

1. 이미지 분석 & 처리

2. 로봇 컨트롤러 제어 & 주행

3. 데이터 수집 & 라벨링 & 모델 학습

4. 드론 원격 제어 & 화재 건물 탐지 & 통신보고

추가로..

대회를 준비하며 내가 한 것들

본선 대회에서 생긴 이슈..

컨트롤러 함수의 차이

ROS와 Tiki 라이브러리의 차이

프레임 이슈

버전 관리 이슈

대회를 마치며

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)란?

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

차원 정리(Dimension Theorem)란?

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

prop1. $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$을 생성(span)한다.

prop2. $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$이 서로 선형독립이다.

prop1, prop2가 참이므로,,

스칼라 곱(내적) 공식 증명

스칼라 곱(내적)이란?

스칼라 곱(scalar product)

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1$ $ + $ $ v_2w_2 $ $ + $ $ \cdots + v_nw_n$ 증명

제1코사인 법칙

제2코사인 법칙

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 증명

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

크래머 공식(Cramer's Rule) 이란?

크래머 공식

크래머 공식을 사용하는 이유

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

역행렬 곱셈 교환 법칙 증명

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$ 증명

물리에서의 벡터 vs 수학에서의 벡터

목차

물리에서의 벡터

수학에서의 벡터

정리

선형대수학이라는 학문에 대해서 (with AI)

목차

선형대수학이란?

선형대수학을 배우는 이유

정리

[CodeForces] #905 (Div.3) A~F 업솔빙

A. Morning

B. Chemistry

C. Raspberries

D. In Love

E. Look Back

F. You Are So Beautiful

[백준 27986번] 평범한 구성적 문제

문제 설명

문제 접근

더 좋은 방법