์๋ ํ์ธ์ Gliver ์ ๋๋ค.
์ด๋ฒ ๊ธ์์๋, ํฌ๋๋จธ ๊ณต์(Cramer's Rule)์ ์ฆ๋ช ํด ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค.
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์(Cramer's Rule) ์ด๋?
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์(Cramer's Rule)์ ๊ฐ๋จํ ๋งํ๋ฉด, ์๋์ ๊ฐ์ ์ ํ ๋ฐฉ์ ์ $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$์ ํด $\mathbf{x}$๋ฅผ ๊ตฌํ๋ ๊ณต์์ด๋ค.
$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\\vdots \\b_n\end{pmatrix}$
์ ํํ ๋งํ๋ฉด, ๋ฏธ์ง์์ ์์ ๋ฐฉ์ ์์ ์๊ฐ ๊ฐ์ ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํํด์๋ง ์ฌ์ฉ ๊ฐ๋ฅํ๋ค.
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํด $\mathbf{x}$์ $i$๋ฒ์งธ ์์ $x_i$๋ฅผ ์๋์ ๊ฐ์ด ๊ตฌํ ์ ์๋ ๊ณต์์ด๋ค.
$\large{x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}}$
$A_i$๋ ๊ณ์ํ๋ ฌ $A$์ $i$์ด ์ฑ๋ถ์ ํ๋ ฌ $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}b1 \\ \vdots \\b_n \end{pmatrix}$ ๋ก ๋ฐ๊พผ ํ๋ ฌ์ ์๋ฏธํ๋ค.
$A_i = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ๋ ์ด์
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํด๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์๋ ๊ณต์์ด๋ค.
๊ทธ๋ฐ๋ฐ, ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ฐ์ง ์๊ณ ๋ ๊ฐ์ฐ์ค ์๊ฑฐ๋ฒ์ด๋ ์ญํ๋ ฌ ๋ฑ์ ์ด์ฉํ๋ฉด ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํด๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์๋ค.
์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํด $\mathbf{x}$์ ๋ชจ๋ ์์($x_1, x_2, \cdots, x_n$)๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํ๋ค๋ฉด ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ๊ทธ๋ค์ง ์ข์ ์ ํ์ง๊ฐ ์๋ ์ ์๋ค.
ํ์ง๋ง, ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํด $\mathbf{x}$์ ํน์ ํ ์์ $x_i$ ํ๋๋ง์ ๊ตฌํ๋ ์ํฉ์ด๋ผ๋ฉด ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ข์ ์ ํ์ง๊ฐ ๋ ์ ์๋ค.
ํน์ ํ ์์ $x_i$ ํ๋๋ง์ ๊ตฌํ๋ ์ํฉ์ผ ๋ ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ์ข์ ์ด์ ๋ ์์ ๋ณด๋ฉด ์ฝ๊ฒ ์ดํดํ ์ ์์ ๊ฒ์ด๋ค.
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์ ์์ฒด๊ฐ ์ ํ ๋ฐฉ์ ์ ํด $\mathbf{x}$์ ํน์ ํ ์์ ($i$๋ฒ์งธ ์์) $x_i$์ ๋ํด ์ ์๋๊ธฐ ๋๋ฌธ์ด๋ค.
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์(Cramer's Rule) ์ฆ๋ช
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์(Cramer's Rule)์ ์ญํ๋ ฌ์ ์ด์ฉํ๋ฉด ์ฝ๊ฒ ์ฆ๋ช ํ ์ ์๋ค.
ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์์ ๋ณด๋ฉด ์ฝ๊ฒ ์ ์ ์๋ ์ฌ์ค์ $\det(A) \neq 0$ ์ด๋ผ๋ ์ ์ด๋ค. (๋ถ๋ชจ๋ 0์ด ๋ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก)
๋ฐ๋ผ์, ํฌ๋๋จธ ๊ณต์์ ์ธ ์ ์๋ ํ๊ฒฝ์ $\det(A) \neq 0$ ์ด๋ฏ๋ก $A$์ ์ญํ๋ ฌ ๋ํ ์กด์ฌํ๋ ์ํฉ์ธ ๊ฒ์ ์๋ช ํ๋ค.
์ฌ์ค, ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ ํด๊ฐ ์กด์ฌํ๋ ค๋ฉด $\det(A) \neq 0$ ์ ๋ง์กฑํด์ผ ํ๋ฏ๋ก ์ญํ๋ ฌ์ด ์กด์ฌํด์ผ ํ๋ ๊ฒ์ ๋น์ฐํ๋ค.
$A$์ ์ญํ๋ ฌ์ด ์กด์ฌํ๋ฏ๋ก $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ ์์ ์๋ณ์ ์์ $A^{-1}$๋ฅผ ๊ณฑํ ์ ์๋ค.
$A^{-1} \cdot A \cdot \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$
$\Rightarrow I_n \cdot \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$
$\Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$
$I_n$์ ํฌ๊ธฐ๊ฐ $n \times n$ ์ธ ๋จ์ํ๋ ฌ์ ์๋ฏธํ๋ค.
$\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$ ์ด๋ฏ๋ก, ์ด์ , ์ $A^{-1} \cdot \mathbf{b}$ ์ ํ๋ ฌ ํํ๋ก ํํํ์ฌ $\mathbf{x}$ ์ ๊ฐ ์์์ ์ด๋ค ๊ด๊ณ๋ฅผ ๊ฐ๋์ง ํ์ ํด ๋ณด์.
์ญํ๋ ฌ์ ์ ์์ ๋ฐ๋ผ์ $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$ ๋ก ๋ํ๋ผ ์ ์๋ค.
๋ฐ๋ผ์, $\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}$ ์ ๋ง์กฑํ๋ค.
$\text{adj}(A)$๋ ์ฌ์ธ์ ํ๋ ฌ $C$ ๋ฅผ ์ ์น์ํจ ํ๋ ฌ์ด๋ฏ๋ก ์๋์ ๊ฐ์ ํํ์ ํ๋ ฌ์ด๋ค.
$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}$
$\mathbf{x} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}$ ์์ ํ๋ ฌ๋ก ํํํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ๋ค.
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_i \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \large{ \frac{1}{\det(A)} } \normalsize{ \cdot \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1i} & C_{2i} & \cdots & C_{ni} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} }$
๋ฐ๋ผ์, $x_i = \frac{1}{\det(A)} \cdot (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni} )$ ๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ค.
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ , $\det(A_i) = (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni})$ ์ด๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก, $x_i = \large{\frac{\det(A_i)}{\det(A)}}$ ์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ค. ์ฆ๋ช ๋.
'๐ Math > Linear Algebra' ์นดํ ๊ณ ๋ฆฌ์ ๋ค๋ฅธ ๊ธ
์ฐจ์ ์ ๋ฆฌ(Dimension Theorem) ์ฆ๋ช (0) | 2024.10.14 |
---|---|
์ค์นผ๋ผ ๊ณฑ(๋ด์ ) ๊ณต์ ์ฆ๋ช (0) | 2024.10.13 |
์ญํ๋ ฌ ๊ณฑ์ ๊ตํ ๋ฒ์น ์ฆ๋ช (0) | 2024.09.29 |
๋ฌผ๋ฆฌ์์์ ๋ฒกํฐ vs ์ํ์์์ ๋ฒกํฐ (2) | 2024.09.29 |
์ ํ๋์ํ์ด๋ผ๋ ํ๋ฌธ์ ๋ํด์ (with AI) (0) | 2024.09.17 |