차원 정리(Dimension Theorem) 증명

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안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 차원 정리(dimension theorem)를 증명해 보겠습니다.

 

 

차원 정리(Dimension Theorem)란?

차원 정리의 정의는 아래와 같다.

 

유한차원 벡터공간 $V$와 선형사상 $L: V \rightarrow W$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$\dim(V) = \dim(\mathrm{ker} L) + \dim( \mathrm{im}L)$

• $\dim(V)$: 정의역 $V$의 차원을 의미
• $\dim(\mathrm{ker} L)$: 핵 $\mathrm{ker} L$의 차원을 의미
• $\dim(\mathrm{im} L)$: 상 $\mathrm{im} L$의 차원을 의미

간단하게, $\mathrm{ker} L$은 0벡터가 나오게 하는 정의역 공간, $\mathrm{im} L$은 치역 공간이라고 생각하면 된다.

 

즉, 차원 정리가 의미하는 것은 정의역의 차원은 치역의 차원과 핵의 차원의 합과 같다는 것이다.

출처: 위키백과

 

 

 

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

차원 정리의 식을 바꿔보면, $\dim(V) - \dim(\mathrm{ker} L) = \dim(\mathrm{im} L)$ 로 표현할 수 있다.

이게 의미하는 것은 정의역 차원 $\dim(V)$에서 0벡터로 사상되는 차원 $\dim(\mathrm{ker} L)$을 빼면 치역의 차원 $\dim(\mathrm{ker} L)$이 된다는 것이다.

따라서, $V \setminus (\mathrm{ker} L)$의 차원과 치역 공간의 차원이 같다는 것을 증명하면 된다. (아래의 prop2에 해당하는 내용)

($V \setminus (\mathrm{ker} L)$은 정의역 공간 중 핵 $\mathrm{ker} L$을 제외한 공간을 의미)

정확하게는,  $V \setminus (\mathrm{ker} L)$ 이 사상하는 공역 공간이 치역 공간 $\mathrm{im} L$이라는 것도 증명해야 한다. (아래의 prop1에 해당하는 내용)

 

 

$B_{V} = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k, v_{k+1} \cdots, v_n \}$ 이라고 하면, $\mathrm{ker}L \subset V$ 이므로 $B_{\mathrm{ker} L} = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k \}$ 라고 할 수 있다.

이제, 우리는 $B_{\mathrm{im}L} = \{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$ 임을 증명하면 된다.

 

$B_{\mathrm{im}L} = \{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$ 임을 증명하려면 아래와 같은 2가지 명제가 참임을 증명해야 한다.

• prop1. $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$을 생성(span)한다.
• prop2. $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$이 서로 선형독립이다.

 

prop1. $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$을 생성(span)한다.

$\forall L(v) \in \mathrm{im}L$ 이며, $v = c_1v_1 + \cdots + c_kv_k + c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n$ 라고 할 수 있다.

따라서, $L(v) = L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k + c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n)$ 이다.

 

선형사상의 Additivity에 의해, $L(v) = L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k) + L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n)$ 로 나타낼 수 있다.

$L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k) = \vec{0}$ 이므로, $L(v) = L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots + c_nv_n)$ 이다.

 

$L(c_1v_1 + \cdots + c_kv_k) = \vec{0}$ 인 이유는 $B_{\mathrm{ker} L} = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k \}$ 이기 때문

 

 

위의 식을 선형사상의 Additivity와 Homogeneity에 의해서 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$L(v) = c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n)$

 

이 식이 의미하는 것은 치역 공간에 속하는 임의의 벡터 $L(v)$를 $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$ 의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것이다.

따라서, $\{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$이 $\mathrm{im}L$ 을 생성(span)한다고 할 수 있다.

 

prop2. $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$이 서로 선형독립이다.

$L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$ 이 서로 선형독립이라는 것을 증명하는 것은

$c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$ 의 유일한 해가  $c_{k+1} = c_{k+2} = \cdots = c_n = 0$ 임을 보이면 된다.

 

$c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$ 식은 아래와 같은 과정을 거칠 수 있다.

• $c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$
• $L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n) = \vec{0}$

$L(c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n) = \vec{0}$ 이므로, $c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n \in \mathrm{ker}L$ 이다.

따라서 커널의 원소인 $c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n$ 은 $B_{\mathrm{ker}L}$ 의 선형결합으로 표현 가능하다.

• $c_{k+1}v_{k+1} + \cdots c_nv_n = c_1v_1 + \cdots + c_kv_k$
• $c_1v_1 + \cdots +c_kv_k - c_{k+1}v_{k+1} - \cdots - c_nv_n = \vec{0}$

$B_V = \{v_1, \cdots, v_n\}$ 이다

따라서, 위 식을 만족하는 $c_1, \cdots, c_k, -c_{k+1}, \cdots, -c_n$ 은 $c_1 = \cdots = c_k = -c_{k+1} = \cdots = -c_n = 0$ 이 유일하다.

즉, $c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots + c_nL(v_n) = \vec{0}$ 이기 위한 유일한 해가 $c_{k+1} = c_{k+2} = \cdots = c_n = 0$ 임이 유일한 것이다.

 

그러므로, $L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n)$은 서로 선형독립이라고 할 수 있다.

 

prop1, prop2가 참이므로,,

prop1, prop2 가 참이므로, $B_{\mathrm{im}L} = \{L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), \cdots, L(v_n) \}$ 이 참이다.

따라서, $\dim(V) - \dim(\mathrm{ker} L) = \dim(\mathrm{im} L)$이 참이라고 할 수 있다. 증명 끝.