계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)를 증명해 보겠습니다.

 

 

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)란?

계수-퇴화차수 정리는 아래와 같다.

 

행렬 $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$

• $m$은 행렬의 행의 개수, $n$은 행렬의 열의 개수를 의미
• $\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 계수를 의미
• $\mathrm{nullity} M$: 행렬 $M$의 영공간의 차원을 의미

행렬에 대해 정의되는 계수-퇴화차수 정리는 선형사상에 대해 정의되는 차원 정리와 대응된다. (차원 정리 글 링크)

왜냐하면, 행렬과 선형사상은 동일한 대수 구조이기 때문이라고 생각하면 된다.

행렬의 $n$ $\Leftrightarrow$ 선형사상의 $\dim(V)$

행렬의 $\mathrm{rank}M$ $\Leftrightarrow$ 선형사상의 $\dim(\mathrm{im} L)$

행렬의 $\mathrm{nullity}M$ $\Leftrightarrow$ 선형사상의 $\dim(\mathrm{ker} L)$

 

 

 

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

계수-퇴화차수 정리를 증명하기 전에, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ 을 증명하겠다.

• $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 열공간 차원, 열벡터들이 생성하는 공간의 차원을 의미
• $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 행공간 차원, 행벡터들이 생성하는 공간의 차원을 의미

 

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$인 이유는 간단하다.

행렬 $M$의 기약행 사다리꼴 형태의 행렬을 $A$라고 해보자.

행렬 $A$는 행렬 $M$에서 기본행 연산을 통해 만들어졌기 때문에 행렬 $M$의 성질을 그대로 유지하고 있다.

• $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{col}$-$\mathrm{rank} A$ 이 성립
• $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank} A$ 이 성립

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$와 $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$의 정의를 생각해 보자.

어떤 벡터들이 생성해 내는 공간의 차원이다.

따라서, 기약행 사다리꼴 형태의 행렬에서 벡터들이 생성해내는 공간의 차원은 선도 1의 개수와 관련이 있다.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

 

예를 들어, 위와 같이 $M_{3 \times 4}$ 행렬의 $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$와 $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ 를 구해보자.

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M$은 열벡터들이 생성해 내는 공간의 차원이므로 3이다.

$\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M$은 행벡터들이 생성해 내는 공간의 차원이므로 3이다.

따라서, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$와 $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ 모두 선도 1의 개수인 것이다.

 

기약행 사다리꼴 형태는 대각 성분이 모두 1인 행렬이다.

따라서, 그러한 상태에서는 $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ 임을 직관적으로 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

그리고, 어떤 행렬이든지 기약행 사다리꼴 형태로 만들 수 있으므로, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ 인 것이다.

 

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ 를 $\mathrm{rank} M$ 이라고 부르며, 이를 $M$의 계수라고 읽는다.

 

계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

계수-퇴화차수 정리는 행렬 $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ 에 대해서 $n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$ 이 성립함을 보이면 된다.

 

기약행 사다리꼴 행렬로 바꾼다고 해도 기존 행렬의 성질은 그대로 보존되고,

기약행 사다리꼴 행렬에 대해서는 선도 1의 개수를 직관적으로 파악할 수 있어, 계수 $\mathrm{rank}$와 $\mathrm{nullity}$를 파악하기 쉽다.

따라서, 계수-퇴화차수 정리 증명을 기약행 사다리꼴 형태로 증명하면 쉽게 증명할 수 있다.

 

행렬 $M$의 기약행 사다리꼴 행렬을 $A$라고 하자.

$\mathrm{rank}M = k$ 라고 하면, $\mathrm{rank} A = k$ 이며, $A$의 선도 1의 개수 또한 $k$라고 할 수 있다.

따라서, $A \mathbf{x} = \mathrm{0}$ 에서 자유 변수의 개수는 $n - k$ 이다.

 

$\mathrm{nullity}$ 는 영공간의 차원, 즉 $A \mathbf{x} = \mathrm{0}$ 을 만족시키는 $\mathrm{x}$가 만드는 공간의 차원을 의미한다.

그리고  $\mathrm{x}$가 만드는 공간의 차원은 행렬 $A$의 자유 변수의 개수이다.

따라서, $\mathrm{nullity} A = n - k$ 라고 할 수 있는 것이다.

 

$\mathrm{rank}M = \mathrm{rank}A, \mathrm{nullity}M = \mathrm{nullity}A$ 이므로, $n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$ 이 성립한다. 증명 끝.