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계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)를 증명해 보겠습니다.  계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)란?계수-퇴화차수 정리는 아래와 같다. 행렬 $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ 에 대하여 다음이 성립한다.$n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$$m$은 행렬의 행의 개수, $n$은 행렬의 열의 개수를 의미$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 계수를 의미$\mathrm{nullity} M$: 행렬 $M$의 영공간의 차원을 의미행렬에 대해 정의되는 계수-퇴화차수 정리는 선형사상에 대해 정의되는 차원 정리와 대응된다. (차원 정리 글 링크)왜냐하면, 행..

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 차원 정리(dimension theorem)를 증명해 보겠습니다.  차원 정리(Dimension Theorem)란?차원 정리의 정의는 아래와 같다. 유한차원 벡터공간 $V$와 선형사상 $L: V \rightarrow W$ 에 대하여 다음이 성립한다.$\dim(V) = \dim(\mathrm{ker} L) + \dim( \mathrm{im}L)$$\dim(V)$: 정의역 $V$의 차원을 의미$\dim(\mathrm{ker} L)$: 핵 $\mathrm{ker} L$의 차원을 의미$\dim(\mathrm{im} L)$: 상 $\mathrm{im} L$의 차원을 의미간단하게, $\mathrm{ker} L$은 0벡터가 나오게 하는 정의역 공간, $\mathrm{im..

스칼라 곱(내적) 공식 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 스칼라 곱(내적) 공식 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 을 증명해 보겠습니다.  스칼라 곱(내적)이란?스칼라 곱(scalar product)은 내적(inner product) 또는 점곱(dot product)이라고도 부른다.  스칼라 곱(scalar product)은 유클리드 공간의 두 벡터로부터 실수 스칼라를 얻는 연산이다.간단히 말하면, 두 벡터에 더해 정의되는 연산이며 그 결과로 실수가 나온다는 것이다. 스칼라 곱(scalar product)스칼라 곱의 기호는 $\cdot$ 이며, 스칼라 곱은 아래와 같은 식으로 정의된다.$\mathbf{v} \cdot \mathbf{..

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 크래머 공식(Cramer's Rule)을 증명해 보겠습니다.   크래머 공식(Cramer's Rule) 이란?크래머 공식(Cramer's Rule)을 간단히 말하면, 아래와 같은 선형 방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해 $\mathbf{x}$를 구하는 공식이다. $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n..

역행렬 곱셈 교환 법칙 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 역행렬의 성질에서 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$ 임을 (곱셈의 교환 법칙을) 증명해 보겠습니다.이 증명을 다른 말로 하면, $A$의 역함수가 $B$라면 $B$의 역함수 또한 $A$라는 것을 증명하는 것이다.   $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$  증명$A \cdot B = I$일 때, $B \cdot A = I$ 임을 증명하면 된다.$A \cdot A^{-1} = I$이므로 $A \cdot B = I$라면 $B = A^{-1}$라는 의미를 내포하고 있다. $A \cdot B = I$   $\cdots$   양변의 앞뒤에 $B$와 $B^{-1}$를 곱한다.    $\Rightarrow$    $ B \ ..

물리에서의 벡터 vs 수학에서의 벡터

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 물리에서의 벡터와 수학에서의 벡터는 무엇인지, 어떤 차이가 있는지 알아보겠습니다. 목차물리에서의 벡터수학에서의 벡터  물리에서의 벡터물리(학)에서 벡터의 정의는 크기와 방향을 모두 갖는 것(객체)을 의미한다.벡터는 크기와 방향이라는 속성은 존재하지만, 위치라는 속성은 존재하지 않는다.즉, 어떠한 두 벡터를 비교할 때 위치가 달라도 크기와 방향이 같으면 같은 벡터로 취급한다. 물리학에서 이러한 벡터는 힘, 속도, 가속도, 전기장, 자기장 등 물리적 현상을 설명하는 데 주로 사용된다.   수학에서의 벡터수학에서의 벡터 또한 물리에서의 벡터와 마찬가지로 크기와 방향을 갖는 객체로 쓰이기도 한다.하지만 이는 벡터를 확대하여 해석한 것이며, 벡터의 정확한 정의는 벡터..

선형대수학이라는 학문에 대해서 (with AI)

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 선형대수학이라는 학문을 왜 배워야 하고, 어디에 쓰이는지를 AI를 배우는 컴공을 기준으로 알아보겠습니다.이해를 돕기 위한 글이므로 엄밀한 정의가 아닌 표현이 쓰인 부분이 있다는 점 참고해 주시면 감사하겠습니다. 목차선형대수학이란?선형대수학을 배우는 이유  선형대수학이란?위키백과에서는 선형대수학을 아래와 같이 정의하고 있다.선형대수학(linear algebra)은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다.즉, 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 학문이다. 아직 선형대수학을 공부하지 않았다면 각각이 무엇이며 어디에 쓰이는지 잘 모르는 것이 당연하다.지금은, 선형대수학은 이러한..

[CodeForces] #905 (Div.3) A~F 업솔빙

안녕하세요 Gliver 입니다. 이번 글은 코드포스 #905 (Div.3) 에 대해 업솔빙하는 글입니다. A. Morning 단순 구현 문제로, 버튼을 누르는 횟수와 이동하는 횟수를 구해서 출력하면 된다. A.cpp B. Chemistry 개인적으로 조금 복잡하게 생각한 문제이다. 팰린드롬을 만들 수 있는 경우는 다음 두 가지 상황으로 제한할 수 있다. 모든 문자의 개수가 짝수개인 경우 하나의 문자의 개수가 홀수개이고, 나머지 모든 문자의 개수가 짝수개인 경우 따라서, 문자열을 적절히 제거하여 홀수개인 문자가 1개 이하가 되도록 만들 수 있으면 된다. 이는, 홀수개인 문자의 개수에서 $k$를 뺀 값이 1 이하 이면 된다는 의미이다. B.cpp C. Raspberries 모든 원소의 곱이 $k$로 나누어 ..