계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)를 증명해 보겠습니다.  계수-퇴화차수 정리(Rank-Nullity Theorem)란?계수-퇴화차수 정리는 아래와 같다. 행렬 $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ 에 대하여 다음이 성립한다.$n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$$m$은 행렬의 행의 개수, $n$은 행렬의 열의 개수를 의미$\mathrm{rank} M$: 행렬 $M$의 계수를 의미$\mathrm{nullity} M$: 행렬 $M$의 영공간의 차원을 의미행렬에 대해 정의되는 계수-퇴화차수 정리는 선형사상에 대해 정의되는 차원 정리와 대응된다. (차원 정리 글 링크)왜냐하면, 행..

차원 정리(Dimension Theorem) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 차원 정리(dimension theorem)를 증명해 보겠습니다.  차원 정리(Dimension Theorem)란?차원 정리의 정의는 아래와 같다. 유한차원 벡터공간 $V$와 선형사상 $L: V \rightarrow W$ 에 대하여 다음이 성립한다.$\dim(V) = \dim(\mathrm{ker} L) + \dim( \mathrm{im}L)$$\dim(V)$: 정의역 $V$의 차원을 의미$\dim(\mathrm{ker} L)$: 핵 $\mathrm{ker} L$의 차원을 의미$\dim(\mathrm{im} L)$: 상 $\mathrm{im} L$의 차원을 의미간단하게, $\mathrm{ker} L$은 0벡터가 나오게 하는 정의역 공간, $\mathrm{im..

스칼라 곱(내적) 공식 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 스칼라 곱(내적) 공식 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 을 증명해 보겠습니다.  스칼라 곱(내적)이란?스칼라 곱(scalar product)은 내적(inner product) 또는 점곱(dot product)이라고도 부른다.  스칼라 곱(scalar product)은 유클리드 공간의 두 벡터로부터 실수 스칼라를 얻는 연산이다.간단히 말하면, 두 벡터에 더해 정의되는 연산이며 그 결과로 실수가 나온다는 것이다. 스칼라 곱(scalar product)스칼라 곱의 기호는 $\cdot$ 이며, 스칼라 곱은 아래와 같은 식으로 정의된다.$\mathbf{v} \cdot \mathbf{..

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 크래머 공식(Cramer's Rule)을 증명해 보겠습니다.   크래머 공식(Cramer's Rule) 이란?크래머 공식(Cramer's Rule)을 간단히 말하면, 아래와 같은 선형 방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해 $\mathbf{x}$를 구하는 공식이다. $ $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$$ \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n..

역행렬 곱셈 교환 법칙 증명

안녕하세요 Gliver 입니다.이번 글에서는, 역행렬의 성질에서 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$ 임을 (곱셈의 교환 법칙을) 증명해 보겠습니다.이 증명을 다른 말로 하면, $A$의 역함수가 $B$라면 $B$의 역함수 또한 $A$라는 것을 증명하는 것이다.   $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$  증명$A \cdot B = I$일 때, $B \cdot A = I$ 임을 증명하면 된다.$A \cdot A^{-1} = I$이므로 $A \cdot B = I$라면 $B = A^{-1}$라는 의미를 내포하고 있다. $A \cdot B = I$   $\cdots$   양변의 앞뒤에 $B$와 $B^{-1}$를 곱한다.    $\Rightarrow$    $ B \ ..