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๐Ÿ“ Math/Linear Algebra

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ(Rank-Nullity Theorem) ์ฆ๋ช…

2024. 10. 19. 13:27

์•ˆ๋…•ํ•˜์„ธ์š” Gliver ์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

์ด๋ฒˆ ๊ธ€์—์„œ๋Š”, ๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ(Rank-Nullity Theorem)๋ฅผ ์ฆ๋ช…ํ•ด ๋ณด๊ฒ ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

 

 

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ(Rank-Nullity Theorem)๋ž€?

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ๋Š” ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™๋‹ค.

 

ํ–‰๋ ฌ $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ ์— ๋Œ€ํ•˜์—ฌ ๋‹ค์Œ์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•œ๋‹ค.
$n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$
  • $m$์€ ํ–‰๋ ฌ์˜ ํ–‰์˜ ๊ฐœ์ˆ˜, $n$์€ ํ–‰๋ ฌ์˜ ์—ด์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๋ฅผ ์˜๋ฏธ
  • $\mathrm{rank} M$: ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ๊ณ„์ˆ˜๋ฅผ ์˜๋ฏธ
  • $\mathrm{nullity} M$: ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ์˜๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์„ ์˜๋ฏธ

ํ–‰๋ ฌ์— ๋Œ€ํ•ด ์ •์˜๋˜๋Š” ๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ๋Š” ์„ ํ˜•์‚ฌ์ƒ์— ๋Œ€ํ•ด ์ •์˜๋˜๋Š” ์ฐจ์› ์ •๋ฆฌ์™€ ๋Œ€์‘๋œ๋‹ค. (์ฐจ์› ์ •๋ฆฌ ๊ธ€ ๋งํฌ)

์™œ๋ƒํ•˜๋ฉด, ํ–‰๋ ฌ๊ณผ ์„ ํ˜•์‚ฌ์ƒ์€ ๋™์ผํ•œ ๋Œ€์ˆ˜ ๊ตฌ์กฐ์ด๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์ด๋ผ๊ณ  ์ƒ๊ฐํ•˜๋ฉด ๋œ๋‹ค.

ํ–‰๋ ฌ์˜ $n$ $\Leftrightarrow$ ์„ ํ˜•์‚ฌ์ƒ์˜ $\dim(V)$

ํ–‰๋ ฌ์˜ $\mathrm{rank}M$ $\Leftrightarrow$ ์„ ํ˜•์‚ฌ์ƒ์˜ $\dim(\mathrm{im} L)$

ํ–‰๋ ฌ์˜ $\mathrm{nullity}M$ $\Leftrightarrow$ ์„ ํ˜•์‚ฌ์ƒ์˜ $\dim(\mathrm{ker} L)$

 

 

 

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ(Rank-Nullity Theorem) ์ฆ๋ช…

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ์ฆ๋ช…ํ•˜๊ธฐ ์ „์—, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ ์„ ์ฆ๋ช…ํ•˜๊ฒ ๋‹ค.

  • $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M$: ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ์—ด๊ณต๊ฐ„ ์ฐจ์›, ์—ด๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ์ƒ์„ฑํ•˜๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์„ ์˜๋ฏธ
  • $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M$: ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ํ–‰๊ณต๊ฐ„ ์ฐจ์›, ํ–‰๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ์ƒ์„ฑํ•˜๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์„ ์˜๋ฏธ

 

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$์ธ ์ด์œ ๋Š” ๊ฐ„๋‹จํ•˜๋‹ค.

ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ˜•ํƒœ์˜ ํ–‰๋ ฌ์„ $A$๋ผ๊ณ  ํ•ด๋ณด์ž.

ํ–‰๋ ฌ $A$๋Š” ํ–‰๋ ฌ $M$์—์„œ ๊ธฐ๋ณธํ–‰ ์—ฐ์‚ฐ์„ ํ†ตํ•ด ๋งŒ๋“ค์–ด์กŒ๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์— ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ์„ฑ์งˆ์„ ๊ทธ๋Œ€๋กœ ์œ ์ง€ํ•˜๊ณ  ์žˆ๋‹ค.

  • $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{col}$-$\mathrm{rank} A$ ์ด ์„ฑ๋ฆฝ
  • $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank} A$ ์ด ์„ฑ๋ฆฝ

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$์™€ $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$์˜ ์ •์˜๋ฅผ ์ƒ๊ฐํ•ด ๋ณด์ž.

์–ด๋–ค ๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ์ƒ์„ฑํ•ด ๋‚ด๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์ด๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ, ๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ˜•ํƒœ์˜ ํ–‰๋ ฌ์—์„œ ๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ์ƒ์„ฑํ•ด๋‚ด๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์€ ์„ ๋„ 1์˜ ๊ฐœ์ˆ˜์™€ ๊ด€๋ จ์ด ์žˆ๋‹ค.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

 

์˜ˆ๋ฅผ ๋“ค์–ด, ์œ„์™€ ๊ฐ™์ด $M_{3 \times 4}$ ํ–‰๋ ฌ์˜ $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$์™€ $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ ๋ฅผ ๊ตฌํ•ด๋ณด์ž.

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M$์€ ์—ด๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ์ƒ์„ฑํ•ด ๋‚ด๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์ด๋ฏ€๋กœ 3์ด๋‹ค.

$\mathrm{row}$-$\mathrm{rank} M$์€ ํ–‰๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ์ƒ์„ฑํ•ด ๋‚ด๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์ด๋ฏ€๋กœ 3์ด๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank}$์™€ $\mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ ๋ชจ๋‘ ์„ ๋„ 1์˜ ๊ฐœ์ˆ˜์ธ ๊ฒƒ์ด๋‹ค.

 

๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ˜•ํƒœ๋Š” ๋Œ€๊ฐ ์„ฑ๋ถ„์ด ๋ชจ๋‘ 1์ธ ํ–‰๋ ฌ์ด๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ, ๊ทธ๋Ÿฌํ•œ ์ƒํƒœ์—์„œ๋Š” $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}$ ์ž„์„ ์ง๊ด€์ ์œผ๋กœ ์‰ฝ๊ฒŒ ์ดํ•ดํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์„ ๊ฒƒ์ด๋‹ค.

๊ทธ๋ฆฌ๊ณ , ์–ด๋–ค ํ–‰๋ ฌ์ด๋“ ์ง€ ๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ˜•ํƒœ๋กœ ๋งŒ๋“ค ์ˆ˜ ์žˆ์œผ๋ฏ€๋กœ, $\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ ์ธ ๊ฒƒ์ด๋‹ค.

 

$\mathrm{col}$-$\mathrm{rank} M = \mathrm{row}$-$\mathrm{rank}M$ ๋ฅผ $\mathrm{rank} M$ ์ด๋ผ๊ณ  ๋ถ€๋ฅด๋ฉฐ, ์ด๋ฅผ $M$์˜ ๊ณ„์ˆ˜๋ผ๊ณ  ์ฝ๋Š”๋‹ค.

 

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ(Rank-Nullity Theorem) ์ฆ๋ช…

๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ๋Š” ํ–‰๋ ฌ $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ ์— ๋Œ€ํ•ด์„œ $n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$ ์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•จ์„ ๋ณด์ด๋ฉด ๋œ๋‹ค.

 

๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ–‰๋ ฌ๋กœ ๋ฐ”๊พผ๋‹ค๊ณ  ํ•ด๋„ ๊ธฐ์กด ํ–‰๋ ฌ์˜ ์„ฑ์งˆ์€ ๊ทธ๋Œ€๋กœ ๋ณด์กด๋˜๊ณ ,

๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ–‰๋ ฌ์— ๋Œ€ํ•ด์„œ๋Š” ์„ ๋„ 1์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๋ฅผ ์ง๊ด€์ ์œผ๋กœ ํŒŒ์•…ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์–ด, ๊ณ„์ˆ˜ $\mathrm{rank}$์™€ $\mathrm{nullity}$๋ฅผ ํŒŒ์•…ํ•˜๊ธฐ ์‰ฝ๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ, ๊ณ„์ˆ˜-ํ‡ดํ™”์ฐจ์ˆ˜ ์ •๋ฆฌ ์ฆ๋ช…์„ ๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ˜•ํƒœ๋กœ ์ฆ๋ช…ํ•˜๋ฉด ์‰ฝ๊ฒŒ ์ฆ๋ช…ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.

 

ํ–‰๋ ฌ $M$์˜ ๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ–‰๋ ฌ์„ $A$๋ผ๊ณ  ํ•˜์ž.

$\mathrm{rank}M = k$ ๋ผ๊ณ  ํ•˜๋ฉด, $\mathrm{rank} A = k$ ์ด๋ฉฐ, $A$์˜ ์„ ๋„ 1์˜ ๊ฐœ์ˆ˜ ๋˜ํ•œ $k$๋ผ๊ณ  ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ, $A \mathbf{x} = \mathrm{0}$ ์—์„œ ์ž์œ  ๋ณ€์ˆ˜์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๋Š” $n - k$ ์ด๋‹ค.

 

$\mathrm{nullity}$ ๋Š” ์˜๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›, ์ฆ‰ $A \mathbf{x} = \mathrm{0}$ ์„ ๋งŒ์กฑ์‹œํ‚ค๋Š” $\mathrm{x}$๊ฐ€ ๋งŒ๋“œ๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์„ ์˜๋ฏธํ•œ๋‹ค.

๊ทธ๋ฆฌ๊ณ   $\mathrm{x}$๊ฐ€ ๋งŒ๋“œ๋Š” ๊ณต๊ฐ„์˜ ์ฐจ์›์€ ํ–‰๋ ฌ $A$์˜ ์ž์œ  ๋ณ€์ˆ˜์˜ ๊ฐœ์ˆ˜์ด๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ, $\mathrm{nullity} A = n - k$ ๋ผ๊ณ  ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๊ฒƒ์ด๋‹ค.

 

$\mathrm{rank}M = \mathrm{rank}A, \mathrm{nullity}M = \mathrm{nullity}A$ ์ด๋ฏ€๋กœ, $n = \mathrm{rank}M + \mathrm{nullity}M$ ์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•œ๋‹ค. ์ฆ๋ช… ๋.

 

 

 

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