스칼라 곱(내적) 공식 증명

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안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 스칼라 곱(내적) 공식 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 을 증명해 보겠습니다.

 

 

스칼라 곱(내적)이란?

스칼라 곱(scalar product)은 내적(inner product) 또는 점곱(dot product)이라고도 부른다.

 

스칼라 곱(scalar product)은 유클리드 공간의 두 벡터로부터 실수 스칼라를 얻는 연산이다.

간단히 말하면, 두 벡터에 더해 정의되는 연산이며 그 결과로 실수가 나온다는 것이다.

 

스칼라 곱(scalar product)

스칼라 곱의 기호는 $\cdot$ 이며, 스칼라 곱은 아래와 같은 식으로 정의된다.

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \| \mathbf{v} \| \| \mathbf{w} \| \cos \theta$

(여기서 $\theta$는 두 벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 이루는 각을 의미)

 

 

 

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1$ $ + $ $ v_2w_2 $ $ + $ $ \cdots + v_nw_n$ 증명

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 를 증명하기 위해서는 제2코사인 법칙을 알아야 한다.

제2코사인 법칙을 증명하기 위해선, 제1코사인 법칙을 알아야 한다.

 

제1코사인 법칙

제1코사인 법칙은 간단하다.

위와 같은 삼각형에 대해 $a = c \cdot \cos B + b \cdot \cos C$ 가 성립한다는 것이다.

 

제2코사인 법칙

위와 같은 삼각형이 있을 때, 제1코사인 법칙에 근거하여 다음이 성립한다.

1. $a = b \cdot \cos C + c \cdot \cos B$
2. $b = a \cdot \cos C + c \cdot \cos A$
3. $c = a \cdot \cos B + b \cdot \cos A$

1번 식과 2번 식에 대하여, 1번 식에 $a$를 곱하고 2번 식에 $b$를 곱하면 각 식은 아래와 같이 변한다.

1. $a^2 = ab \cdot \cos C + ac \cdot \cos B$
2. $b^2 = ab \cdot \cos C + bc \cdot \cos A$

그리고, 이 두 식을 더하면 아래와 같은 식이 된다.

 

$a^2 + b^2 = 2ab \cdot \cos C + c \cdot (a \cdot \cos B + b \cdot \cos A)$

 

3번 식에 근거하여, $(a \cdot \cos B + b \cdot \cos A) = c$ 이다.

따라서, $a^2 + b^2 = 2ab \cdot \cos C + c^2$ 이므로 다음이 성립한다. (제2코사인 법칙)

 

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C$

 

 

 

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 증명

이제, 제2코사인 법칙을 이용해서 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 을 증명해 보자.

 

제2코사인 법칙에 근거하여, $\|\mathbf{x}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 - 2 \cdot \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cdot \cos \theta$ 이 성립한다.

$\mathbf{x} = \mathbf{v} - \mathbf{w}, \ \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cdot \cos \theta = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$ 이므로 아래와 같이 식을 변환할 수 있다.

 

$\|\mathbf{v} - \mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 - 2 \cdot \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

 

위의 식을 정리하면, 아래와 같은 과정을 거치게 된다.

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \frac{1}{2}\{ \| \mathbf{v} \|^2 + \| \mathbf{w} \|^2 - \| \mathbf{v} - \mathbf{w} \|^2 \}$

 

$= \frac{1}{2} \{ ({v_1}^2  + \cdots + {v_n}^2) + ({w_1}^2 + \cdots + {w_n}^2) \ -(v_1 - w_1)^2  - \cdots -(v_n - w_n)^2   \}$

 

= $\frac{1}{2} ( 2v_1w_1 + \cdots + 2v_nw_n )$

 

$= v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$

 

따라서, $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ 이 성립한다. 증명 끝.