역행렬 곱셈 교환 법칙 증명

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안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 역행렬의 성질에서 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$ 임을 (곱셈의 교환 법칙을) 증명해 보겠습니다.

이 증명을 다른 말로 하면, $A$의 역함수가 $B$라면 $B$의 역함수 또한 $A$라는 것을 증명하는 것이다.

 

 

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$  증명

$A \cdot B = I$일 때, $B \cdot A = I$ 임을 증명하면 된다.

$A \cdot A^{-1} = I$이므로 $A \cdot B = I$라면 $B = A^{-1}$라는 의미를 내포하고 있다.

 

$A \cdot B = I$   $\cdots$   양변의 앞뒤에 $B$와 $B^{-1}$를 곱한다.    $\Rightarrow$    $ B \ $$\cdot \ A \cdot B \ \cdot $$ \ B^{-1}$$ = $$B \ $$ \cdot \ I \ \cdot $$\ B^{-1}$

$B \cdot A \cdot \ $$ B \cdot B^{-1} \ $$ = B \cdot I \cdot B^{-1}$    $\cdots$    $B \cdot B^{-1} = I$ 이다.    $\Rightarrow$    $B \cdot A = B \cdot I \cdot B^{-1}$

$B \cdot A = $$ \ B \cdot I \cdot B^{-1}$    $\cdots$    $ B \cdot I \cdot B^{-1} = I$ 이다.    $\Rightarrow$    $B \cdot A =$$ I$

 

따라서, $B \cdot A = I$이므로 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ 임을 만족한다.