선형대수학이라는 학문에 대해서 (with AI)

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안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 선형대수학이라는 학문을 왜 배워야 하고, 어디에 쓰이는지를 AI를 배우는 컴공을 기준으로 알아보겠습니다.

이해를 돕기 위한 글이므로 엄밀한 정의가 아닌 표현이 쓰인 부분이 있다는 점 참고해 주시면 감사하겠습니다.

 

목차

• 선형대수학이란?
• 선형대수학을 배우는 이유

 

 

선형대수학이란?

위키백과에서는 선형대수학을 아래와 같이 정의하고 있다.

선형대수학(linear algebra)은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다.

즉, 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 학문이다. 

아직 선형대수학을 공부하지 않았다면 각각이 무엇이며 어디에 쓰이는지 잘 모르는 것이 당연하다.

지금은, 선형대수학은 이러한 것들을 연구하는 학문이라는 것만 알아도 충분하다.

 

 

 

선형대수학을 배우는 이유

위에서 선형대수학은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 학문이라고 하였다.

벡터 공간, 선형 변환 등은 어려우므로, 여기서는 벡터, 행렬, 연립 선형 방정식을 통해서 무엇을 할 수 있는지 살펴보겠다.

 

간단하게, 벡터는 수들이 1차원 배열 형태로 담겨 있으며, 행렬은 2차원 배열 형태로 담겨 있다고 생각하면 된다.

연립 선형 방정식은 아래와 같이, 여러 개의 방정식을 동시에 풀어야 하는 문제를 의미한다.

$$2x + 3y = 8$$$$x - 2y = -3$$

 

위와 같은 연립 선형 방정식을 어떻게 풀 수 있을까?

고등학교까지의 교육과정에서 배웠듯이, 변수들을 연립(대입법을 이용)하여 풀 수 있다.

선형대수학에서는 위와 같은 연립 선형 방정식을 아래와 같이 행렬과 벡터의 곱셈으로 표현 가능하며, 답 또한 구할 수 있다.

$$ \begin{pmatrix} 2 & 3  \\ 1 & -2  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x  \\ y  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8  \\ -3  \end{pmatrix}$$

그런데, 대입법을 사용하면 되는데 굳이 선형대수학을 이용하여 풀 필요가 있는지 의문이 들 수도 있다.

 

아래와 같은 연립 선형 방정식을 대입법을 통해서 구할 수 있을까?

$$2a + 3b - c + 4d - 2e = 7$$ $$-a + 2b + 4c - d + e = 5$$ $$3a - b + c + 2d + e = 10$$ $$4a + b - 3c + d + 2e = 6$$ $$-a + 3b + 2c - 2d + 5e = 8$$

변수의 개수가 5개나 되니 조금 번거롭긴 하겠지만, 대입법을 여러 번 사용하여 풀 수 있을 것이다.

 

만약에, 변수의 개수가 100개, 1000개, 10000개가 되는 연립 선형 방정식이 주어진다면 풀 수 있을까?

이렇게 변수의 개수가 많아지는 경우에 사람이 풀기 어려우며, 프로그래밍을 하여 푸는 것이 좋다.

그리고, 프로그래밍을 하여 방정식을 풀 때는 선형대수학의 이론을 이용하는 것이 좋은 것이다.

대입법 또한 프로그래밍으로 구현 가능하지만, 선형대수학의 벡터와 행렬을 이용하여 해결하는 것이 더 좋다는 의미

 

선형대수학을 이용하면 연립 선형 방정식을 프로그래밍으로 풀기 쉬운 이유가 뭘까?

위에서 벡터는 1차원 배열에 대응되고, 행렬은 2차원 배열에 대응된다.라고 했다.

또한, 연립 선형 방정식은 행렬과 벡터의 곱셈으로 표현 가능하다.라고 했다.

즉, 연립 선형 방정식은 행렬과 벡터로 표현 가능하며, 행렬과 벡터는 프로그래밍에서 배열로 표현이 가능하다.

따라서, 연립 선형 방정식을 프로그래밍에서 배열 형태로 표현할 수 있는 것이다.

 

그래서, 연립 선형 방정식의 해는 어떻게 구할 수 있는데?

연립 선형 방정식을 프로그래밍에서 배열 형태로 표현할 수 있다는 것은 이해됐을 것이다.

그렇다면, 이렇게 표현한 연립 선형 방정식의 해를 어떻게 구할 수 있을까?

가장 간단한 방법으로는 가우스 소거법(Gaussian Elimination)이 있으며, 이는 프로그래밍으로 구현하기 쉽다.

가우스 소거법 외에 다른 방법도 많이 있으므로, 궁금하면 찾아보는 것을 추천한다.

 

 

 

정리

정리하면, AI를 전공하는 입장에서 선형대수학을 왜 배우는지에 대해 물어보면 아래와 같이 답하면 될 거 같다.

선형대수학을 이용하면 (연립 선형 방정식과 같이) 수학적인 상황을 쉽게 표현/해결 가능하며, 선형대수학에서 나오는 벡터와 행렬은 프로그래밍하기에 적합한 형태이므로 AI 분야에서 많이 활용되므로 중요하다.

AI 분야에서 선형대수학이 어떻게 쓰이는 아직 자세히 몰라도 괜찮다.

선형대수학을 배우고 AI(머신러닝, 딥러닝)를 배우다 보면, 선형대수학이 어디에 쓰이는지 쉽게 알 수 있을 것이다.