크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

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안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 크래머 공식(Cramer's Rule)을 증명해 보겠습니다. 

 

 

크래머 공식(Cramer's Rule) 이란?

크래머 공식(Cramer's Rule)을 간단히 말하면, 아래와 같은 선형 방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해 $\mathbf{x}$를 구하는 공식이다.

 

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\\vdots \\b_n\end{pmatrix}$

 

정확히 말하면, 미지수의 수와 방정식의 수가 같은 선형 방정식에 한해서만 사용 가능하다.

 

크래머 공식

크래머 공식은 선형 방정식의 해 $\mathbf{x}$의 $i$번째 원소 $x_i$를 아래와 같이 구할 수 있는 공식이다.

$\large{x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}}$

 

$A_i$는 계수행렬 $A$의 $i$열 성분을 행렬 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}b1 \\ \vdots \\b_n \end{pmatrix}$ 로 바꾼 행렬을 의미한다.

 

$A_i = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$

 

크래머 공식을 사용하는 이유

크래머 공식은 선형 방정식의 해를 구할 수 있는 공식이다.

그런데, 크래머 공식을 쓰지 않고도 가우스 소거법이나 역행렬 등을 이용하면 선형 방정식의 해를 구할 수 있다.

 

선형 방정식의 해 $\mathbf{x}$의 모든 원소($x_1, x_2, \cdots, x_n$)를 구해야 한다면 크래머 공식은 그다지 좋은 선택지가 아닐 수 있다.

하지만, 선형 방정식의 해 $\mathbf{x}$의 특정한 원소 $x_i$ 하나만을 구하는 상황이라면 크래머 공식은 좋은 선택지가 될 수 있다.

 

특정한 원소 $x_i$ 하나만을 구하는 상황일 때 크래머 공식을 사용하면 좋은 이유는 식을 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

크래머 공식 자체가 선형 방정식 해 $\mathbf{x}$의 특정한 원소 ($i$번째 원소) $x_i$에 대해 정의되기 때문이다.

 

 

 

크래머 공식(Cramer's Rule) 증명

크래머 공식(Cramer's Rule)은 역행렬을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

 

크래머 공식의 식을 보면 쉽게 알 수 있는 사실은 $\det(A) \neq 0$ 이라는 점이다. (분모는 0이 될 수 없으므로)

따라서, 크래머 공식을 쓸 수 있는 환경은 $\det(A) \neq 0$ 이므로 $A$의 역행렬 또한 존재하는 상황인 것은 자명하다.

사실, 선형 방정식의 해가 존재하려면 $\det(A) \neq 0$ 을 만족해야 하므로 역행렬이 존재해야 하는 것은 당연하다.

 

$A$의 역행렬이 존재하므로 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 에서 양변의 앞에 $A^{-1}$를 곱할 수 있다.

$A^{-1} \cdot A \cdot \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$

$\Rightarrow I_n \cdot  \mathbf{x} = A^{-1} \cdot  \mathbf{b}$

$\Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$

$I_n$은 크기가 $n \times n$ 인 단위행렬을 의미한다.

 

 

 

$\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$ 이므로, 이제, 식 $A^{-1} \cdot \mathbf{b}$ 을 행렬 형태로 표현하여 $\mathbf{x}$ 의 각 원소와 어떤 관계를 갖는지 파악해 보자.

 

역행렬의 정의에 따라서 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$ 로 나타낼 수 있다.

따라서, $\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}$ 을 만족한다.

 

$\text{adj}(A)$는 여인수 행렬 $C$ 를 전치시킨 행렬이므로 아래와 같은 형태의 행렬이다.

 

$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}$

 

 

$\mathbf{x} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}$ 식을 행렬로 표현하면 아래와 같다.

 

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_i \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \large{ \frac{1}{\det(A)} } \normalsize{ \cdot \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1i} & C_{2i} & \cdots & C_{ni} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots  \\ b_n \end{pmatrix} }$

 

따라서, $x_i = \frac{1}{\det(A)} \cdot (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni} )$ 를 만족한다.

그리고, $\det(A_i) = (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni})$ 이다.

 

그러므로, $x_i = \large{\frac{\det(A_i)}{\det(A)}}$ 이 성립한다. 증명 끝.