물리에서의 벡터 vs 수학에서의 벡터

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안녕하세요 Gliver 입니다.

이번 글에서는, 물리에서의 벡터와 수학에서의 벡터는 무엇인지, 어떤 차이가 있는지 알아보겠습니다.

 

목차

• 물리에서의 벡터
• 수학에서의 벡터

 

 

물리에서의 벡터

물리(학)에서 벡터의 정의는 크기와 방향을 모두 갖는 것(객체)을 의미한다.

벡터는 크기와 방향이라는 속성은 존재하지만, 위치라는 속성은 존재하지 않는다.

즉, 어떠한 두 벡터를 비교할 때 위치가 달라도 크기와 방향이 같으면 같은 벡터로 취급한다.

 

물리학에서 이러한 벡터는 힘, 속도, 가속도, 전기장, 자기장 등 물리적 현상을 설명하는 데 주로 사용된다.

 

 

 

수학에서의 벡터

수학에서의 벡터 또한 물리에서의 벡터와 마찬가지로 크기와 방향을 갖는 객체로 쓰이기도 한다.

하지만 이는 벡터를 확대하여 해석한 것이며, 벡터의 정확한 정의는 벡터 공간(vector space)의 요소라고 할 수 있다.

 

벡터 공간 (vector space)

수학에서의 벡터를 이해하기 위해선 벡터 공간이라는 것을 먼저 이해해야 한다.

벡터 공간에 대해 설명하기 이전에 공간(space)이라는 것을 이해할 필요가 있다.

 

수학에서 공간(space)은 3가지를 담고 있는 구조라고 생각하면 된다.

• 다루려는 객체 집합
• 객체 집합에 부여된 연산(들)
• 객체와 연산에 부여된 조건/공리(들)

사실, 위에서 설명한 공간(space)의 정의는 대수구조(Algebraic Structure)에 대한 정의입니다.

하지만, 벡터 공간(vector space)은 대수구조로 해석할 수 있으며 대수구조로 벡터 공간을 이해하는 것이 쉽다고 생각하여 이렇게 작성하였습니다.

 

정확한 공간(space)의 정의는 위상 공간(topological space)을 의미하므로 궁금하신 분들은 관련 내용을 찾아 보시면 좋을 것 같습니다.

 

 

즉, 벡터 공간은 벡터라는 객체를 다루고, 벡터라는 객체에 부여된 연산들과 여러 가지 공리들이 정의된 구조인 것이다.

정확한 벡터 공간(vector space)의 정의는 체 $F$에 대한 가군 $(V, +, \cdot)$으로 아래와 같은 수학적인 정의를 따른다.

벡터 공간(vector space)의 정의

 

벡터 공간(vector space)의 정확한 정의는 위의 그림과 같지만, (수학을 전공하지 않았다면) 위를 정확히 이해하기 힘들 수 있다.

어쨌든 핵심은 저러한 조건/공리들을 만족하는 구조라면, 그 구조의 요소를 벡터라고 부를 수 있다는 것이다.

그리고, 우리가 수학 시간에 배웠던 벡터는 위의 조건/공리들을 모두 만족하는 벡터 공간의 요소인 것이다.

 

우리가 흔히 알고 있는 수들의 나열로 표현되는 벡터라는 것을 생각해 보자.

벡터 간의 덧셈과 벡터의 스칼라(실수)배를 자연스럽게 쓰고 있지 않은가?

또한, 벡터로 이루어진 식에서 교환법칙을 쓰고, 결합법칙을 사용하고 있지 않은가?

즉, 우리가 사용하고 있던 벡터라는 것은 수학에서의 벡터 공간의 정의를 이미 만족하고 있었던 것이다.

 

 

 

정리

물리학에서 벡터는 크기와 방향을 모두 갖는 것(객체)을 의미하며, 수학에서의 벡터는 벡터 공간(vector space)의 요소를 의미한다.

물리학에서 다루는 벡터 또한 수학에서의 벡터에 포함되는 개념이라고 할 수 있다.

물리학에서 벡터에 정의된 연산들과 공리들이 수학에서 벡터 공간(vector space)의 조건/공리들을 만족하고 있다는 의미이다.

 

정리하면, 수학에서의 벡터는 더 일반적이고 추상적인 개념으로 쓰이며

물리에서의 벡터는 (물리적인 현상을 설명하는) 더 구체적인 개념으로 쓰인다고 생각하면 된다.